ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 1 - 34

34. 6) Упростим выражение: $$ \frac{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} $$ Выражение имеет смысл при $a \ge 0$. Представим корни через степени с одинаковым знаменателем показателя или выполним замену переменной. Пусть $x = \sqrt[6]{a}$, где $x \ge 0$. Тогда: * $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{6}} = (\sqrt[6]{a})^2 = x^2$; * $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{6}} = (\sqrt[6]{a})^3 = x^3$. Подставим $x$ в исходную дробь: $$ \frac{x^2 - x + 1}{x^3 + 1} $$ Разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$: $$ \frac{x^2 - x + 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} $$ Так как $x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$, сократим дробь на выражение $(x^2 - x + 1)$: $$ \frac{1}{x + 1} $$ Выполним обратную замену, подставив $x = \sqrt[6]{a}$: $$ \frac{1}{\sqrt[6]{a} + 1} $$ Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a} + 1}$.