ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 1 - 31

**31.** 5) Сократим дробь: $$ \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} $$ Выражение имеет смысл при $a \ge 0$ и $a \ne 1$. Представим выражение $\sqrt{a}$ в знаменателе как квадрат корня четвёртой степени: $\sqrt{a} = \left(\sqrt[4]{a}\right)^2$. Разложим знаменатель дроби на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $$ \sqrt{a} - 1 = \left(\sqrt[4]{a}\right)^2 - 1^2 = \left(\sqrt[4]{a} - 1\right)\left(\sqrt[4]{a} + 1\right) $$ Подставим полученное разложение в исходную дробь и сократим её на общий множитель $\left(\sqrt[4]{a} + 1\right) \ne 0$: $$ \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\left(\sqrt[4]{a} - 1\right)\left(\sqrt[4]{a} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt[4]{a} - 1} $$ Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{a} - 1}$