ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 1 - 33

33. Упростим выражение: $$ 6^{\frac{\sqrt{a} - 1}{\frac{6}{\sqrt{a} - 1}}} $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$: - выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $a \ge 0$; - знаменатель дроби в показателе не должен быть равен нулю: $\sqrt{a} - 1 \ne 0$, то есть $\sqrt{a} \ne 1$, откуда $a \ne 1$. Таким образом, выражение определено при $a \ge 0$ и $a \ne 1$. 2. Упростим показатель степени, выполнив деление на дробь: $$ \frac{\sqrt{a} - 1}{\frac{6}{\sqrt{a} - 1}} = (\sqrt{a} - 1) \cdot \frac{\sqrt{a} - 1}{6} = \frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{6} $$ Раскроем квадрат разности в числителе показателя: $$ (\sqrt{a} - 1)^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a} + 1 = a - 2\sqrt{a} + 1 $$ Следовательно, показатель степени равен $\frac{a - 2\sqrt{a} + 1}{6}$. 3. Запишем исходное выражение с преобразованным показателем: $$ 6^{\frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{6}} = 6^{\frac{a - 2\sqrt{a} + 1}{6}} $$ По определению степени с дробным показателем ($x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$) выражение можно также представить в виде корня: $$ \sqrt[6]{6^{(\sqrt{a} - 1)^2}} \quad \text{или} \quad \sqrt[6]{6^{a - 2\sqrt{a} + 1}} $$ Ответ: $6^{\frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{6}}$ (или $\sqrt[6]{6^{(\sqrt{a} - 1)^2}}$) при $a \ge 0$, $a \ne 1$.