ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 3 / вариант 2 - 2

Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого её члена к предыдущему является постоянным числом, то есть не зависит от $n$: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы: $|q| < 1$. Преобразуем формулу $n$-го члена последовательности: $$ b_n = 2^{1 + n} \cdot 5^{1 - n} = 2 \cdot 2^n \cdot 5 \cdot 5^{-n} = 10 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n $$ Запишем выражение для $(n+1)$-го члена последовательности: $$ b_{n+1} = 2^{1 + (n+1)} \cdot 5^{1 - (n+1)} = 2^{n+2} \cdot 5^{-n} $$ Найдём отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$: $$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+2} \cdot 5^{-n}}{2^{n+1} \cdot 5^{1-n}} = 2^{(n+2) - (n+1)} \cdot 5^{-n - (1-n)} = 2^1 \cdot 5^{-1} = \frac{2}{5} $$ Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2}{5}$ не зависит от номера $n$, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{2}{5}$. Проверим условие бесконечного убывания: $$ |q| = \left|\frac{2}{5}\right| = \frac{2}{5} < 1 $$ Условие $|q| < 1$ выполняется, следовательно, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ответ: да, является.