ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 3 / вариант 2 - 4

Дана геометрическая прогрессия: $$ \frac{7}{8}; \quad \frac{1}{8}; \quad \frac{1}{56}; \quad \ldots $$ Первый член геометрической прогрессии: $$ b_1 = \frac{7}{8} $$ Второй член геометрической прогрессии: $$ b_2 = \frac{1}{8} $$ Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{7} $$ Проверим третий член последовательности: $$ b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{56} $$ Значение совпадает с заданным, значит, последовательность действительно является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{7}$. Так как $|q| = \left|\frac{1}{7}\right| < 1$, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$ Подставим значения $b_1 = \frac{7}{8}$ и $q = \frac{1}{7}$: $$ S = \frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{6}{7}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{7}{6} = \frac{49}{48} = 1\frac{1}{48} $$ Ответ: $q = \frac{1}{7}$; $S = 1\frac{1}{48}$.