ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 3 / вариант 1 - 8

1) Представим бесконечную периодическую десятичную дробь $0,(6)$ в виде обыкновенной дроби. Запишем периодическую дробь в виде бесконечной суммы: $$ 0,(6) = 0,666\dots = 0,6 + 0,06 + 0,006 + \dots $$ Слагаемые представляют собой члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$, у которой: первый член $b_1 = 0,6$; знаменатель $q = \frac{0,06}{0,6} = 0,1$. Так как $|q| = 0,1 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумму находим по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$ Подставим значения $b_1$ и $q$: $$ S = \frac{0,6}{1 - 0,1} = \frac{0,6}{0,9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$ Следовательно: $$ 0,(6) = \frac{2}{3} $$ 2) Представим бесконечную периодическую десятичную дробь $4,12(35)$ в виде обыкновенной дроби. Выделим целую часть числа: $$ 4,12(35) = 4 + 0,12(35) $$ Представим дробную часть $0,12(35) = 0,12353535\dots$ в виде суммы: $$ 0,12(35) = 0,12 + 0,0035 + 0,000035 + \dots $$ Слагаемые, начиная со второго, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию $(b_n)$, где: первый член $b_1 = 0,0035$; знаменатель $q = \frac{0,000035}{0,0035} = 0,01$. Так как $|q| = 0,01 < 1$, вычислим сумму этой геометрической прогрессии: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0,0035}{1 - 0,01} = \frac{0,0035}{0,99} = \frac{35}{9900} $$ Прибавим к полученной сумме слагаемое $0,12 = \frac{12}{100}$: $$ 0,12(35) = \frac{12}{100} + \frac{35}{9900} = \frac{12 \cdot 99 + 35}{9900} = \frac{1188 + 35}{9900} = \frac{1223}{9900} $$ Учтем целую часть числа: $$ 4,12(35) = 4 + \frac{1223}{9900} = 4\frac{1223}{9900} = \frac{4 \cdot 9900 + 1223}{9900} = \frac{40823}{9900} $$ *(Примечание: если рассматривается дробная часть $0,12(35)$ отдельно, её значение равно $\frac{1223}{9900}$)*. **Ответ:** 1) $\frac{2}{3}$; 2) $4\frac{1223}{9900}$ (или $\frac{40823}{9900}$).