ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 2 - 8

Решим систему уравнений методом подстановки: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x - y = 3. \end{cases} $$ 1. Выразим переменную $x$ через $y$ из второго уравнения системы: $$ x = y + 3 $$ 2. Подставим полученное выражение вместо $x$ в первое уравнение: $$ (y + 3)^2 + y^2 = 17 $$ 3. Раскроем скобки, применив формулу квадрата суммы, и упростим уравнение: $$ y^2 + 6y + 9 + y^2 = 17 $$ $$ 2y^2 + 6y + 9 - 17 = 0 $$ $$ 2y^2 + 6y - 8 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ y^2 + 3y - 4 = 0 $$ 4. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$ $$ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $$ 5. Найдем соответствующие значения $x$, подставляя найденные значения $y$ в выражение $x = y + 3$: Если $y_1 = 1$, то: $$ x_1 = 1 + 3 = 4 $$ Если $y_2 = -4$, то: $$ x_2 = -4 + 3 = -1 $$ Таким образом, система имеет два решения: пары чисел $(4; 1)$ и $(-1; -4)$. Ответ: $(4; 1)$, $(-1; -4)$.