ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 2 - 5

5. Решим дробное рациональное уравнение: $$ \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{8} $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Таким образом, $x \neq \pm 2$. 2. **Преобразование уравнения:** Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$: $$ \frac{(x + 2) + (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3}{8} $$ $$ \frac{2x}{x^2 - 4} = \frac{3}{8} $$ По основному свойству пропорции (при условии $x \neq \pm 2$): $$ 3(x^2 - 4) = 8 \cdot 2x $$ $$ 3x^2 - 12 = 16x $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и запишем квадратное уравнение в стандартном виде: $$ 3x^2 - 16x - 12 = 0 $$ 3. **Нахождение корней квадратного уравнения:** Вычислим дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400 = 20^2 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $$ 4. **Проверка условий ОДЗ:** Оба корня $x_1 = 6$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$ удовлетворяют условиям $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Ответ: $-\frac{2}{3}; 6$.