ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 2 - 6

$\boxed{6}$ Решим дробно-рациональное уравнение: $$ \frac{1}{2x^2 - 3x - 9} + \frac{3}{x^2 - x - 6} = \frac{x}{2x^2 + 7x + 6} $$ 1. Разложим квадратные трёхчлены в знаменателях на линейные множители: * $2x^2 - 3x - 9$: Найдём корни уравнения $2x^2 - 3x - 9 = 0$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$ $x_1 = \frac{3 + 9}{4} = 3$, $x_2 = \frac{3 - 9}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ Тогда: $$ 2x^2 - 3x - 9 = 2(x - 3)\left(x + \frac{3}{2}\right) = (x - 3)(2x + 3) $$ * $x^2 - x - 6$: По теореме Виета корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ равны $3$ и $-2$. Тогда: $$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$ * $2x^2 + 7x + 6$: Найдём корни уравнения $2x^2 + 7x + 6 = 0$: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$ $x_1 = \frac{-7 + 1}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$, $x_2 = \frac{-7 - 1}{4} = -2$ Тогда: $$ 2x^2 + 7x + 6 = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)(x + 2) = (2x + 3)(x + 2) $$ 2. Запишем уравнение с разложенными знаменателями: $$ \frac{1}{(2x + 3)(x - 3)} + \frac{3}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{x}{(2x + 3)(x + 2)} $$ 3. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 2x + 3 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq -1{,}5 \\ x \neq 3 \\ x \neq -2 \end{cases} $$ 4. Общий знаменатель дробей равен $(2x + 3)(x - 3)(x + 2)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель с учётом ОДЗ: $$ 1 \cdot (x + 2) + 3 \cdot (2x + 3) = x(x - 3) $$ Раскроем скобки: $$ x + 2 + 6x + 9 = x^2 - 3x $$ $$ 7x + 11 = x^2 - 3x $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ x^2 - 3x - 7x - 11 = 0 $$ $$ x^2 - 10x - 11 = 0 $$ 5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_1 \cdot x_2 = -11 \end{cases} \implies x_1 = 11, \quad x_2 = -1 $$ 6. Проверим полученные корни по ОДЗ: * при $x = 11$: $11 \neq -1{,}5$, $11 \neq 3$, $11 \neq -2$ — корень подходит; * при $x = -1$: $-1 \neq -1{,}5$, $-1 \neq 3$, $-1 \neq -2$ — корень подходит. Ответ: $-1$; $11$.