ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 2 - 7

7. Упростим выражение по действиям: $$ \left( \frac{36a^2}{5a^2 + 13a - 6} - \frac{5a - 2}{a + 3} \right) : \frac{11a - 2}{a^2 - 2a - 15} - \frac{28a - a^2}{2 - 5a} $$ **1. Разложим квадратные трёхчлены на множители:** * Знаменатель первой дроби $5a^2 + 13a - 6$: Найдем корни уравнения $5a^2 + 13a - 6 = 0$: $$ D = 13^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289 = 17^2 $$ $$ a_1 = \frac{-13 + 17}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}, \quad a_2 = \frac{-13 - 17}{10} = -3 $$ Тогда: $$ 5a^2 + 13a - 6 = 5\left(a - \frac{2}{5}\right)(a + 3) = (5a - 2)(a + 3) $$ * Знаменатель делителя $a^2 - 2a - 15$: По теореме Виета корни уравнения $a^2 - 2a - 15 = 0$ равны $a_1 = 5$, $a_2 = -3$. Тогда: $$ a^2 - 2a - 15 = (a - 5)(a + 3) $$ **2. Выполним вычитание в скобках:** $$ \frac{36a^2}{(5a - 2)(a + 3)} - \frac{5a - 2}{a + 3} = \frac{36a^2 - (5a - 2)^2}{(5a - 2)(a + 3)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ 36a^2 - (25a^2 - 20a + 4) = 36a^2 - 25a^2 + 20a - 4 = 11a^2 + 20a - 4 $$ Разложим числитель $11a^2 + 20a - 4$ на множители: $$ D = 20^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-4) = 400 + 176 = 576 = 24^2 $$ $$ a_1 = \frac{-20 + 24}{22} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}, \quad a_2 = \frac{-20 - 24}{22} = -2 $$ $$ 11a^2 + 20a - 4 = 11\left(a - \frac{2}{11}\right)(a + 2) = (11a - 2)(a + 2) $$ Получаем результат вычитания в скобках: $$ \frac{(11a - 2)(a + 2)}{(5a - 2)(a + 3)} $$ **3. Выполним деление дробей:** $$ \frac{(11a - 2)(a + 2)}{(5a - 2)(a + 3)} : \frac{11a - 2}{(a - 5)(a + 3)} = \frac{(11a - 2)(a + 2)}{(5a - 2)(a + 3)} \cdot \frac{(a - 5)(a + 3)}{11a - 2} $$ Сократим дробь на $(11a - 2)$ и $(a + 3)$: $$ \frac{(a + 2)(a - 5)}{5a - 2} $$ **4. Выполним вычитание последней дроби:** Заметим, что в знаменателе дроби $\frac{28a - a^2}{2 - 5a}$ можно вынести знак «$-$»: $2 - 5a = -(5a - 2)$. Тогда знак перед дробью меняется на противоположный: $$ \frac{(a + 2)(a - 5)}{5a - 2} - \frac{28a - a^2}{2 - 5a} = \frac{(a + 2)(a - 5)}{5a - 2} + \frac{28a - a^2}{5a - 2} $$ Приведем подобные в общем числителе: $$ \frac{(a^2 - 3a - 10) + (28a - a^2)}{5a - 2} = \frac{25a - 10}{5a - 2} $$ Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе: $$ \frac{5(5a - 2)}{5a - 2} = 5 $$ Ответ: 5