ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 2 - 16

Решите уравнение с параметром $a$: $$(9 - a^2)x^2 - 6x + 1 = 0$$ ### Решение Рассмотрим два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$. **1. Коэффициент при $x^2$ равен нулю:** $$9 - a^2 = 0 \iff a^2 = 9 \iff a = \pm 3$$ * При $a = 3$: $$0 \cdot x^2 - 6x + 1 = 0$$ $$-6x = -1$$ $$x = \frac{1}{6}$$ * При $a = -3$: $$0 \cdot x^2 - 6x + 1 = 0$$ $$-6x = -1$$ $$x = \frac{1}{6}$$ Таким образом, при $a = \pm 3$ уравнение является линейным и имеет единственный корень $x = \frac{1}{6}$. --- **2. Коэффициент при $x^2$ отличен от нуля ($a \neq \pm 3$):** В этом случае уравнение является квадратным. Вычислим дискриминант, используя формулу для четного второго коэффициента ($k = -3$): $$D_1 = \frac{D}{4} = k^2 - ac = (-3)^2 - (9 - a^2) \cdot 1 = 9 - 9 + a^2 = a^2$$ Так как $a^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни: * Если $a = 0$, то $D_1 = 0$, и уравнение имеет один корень (два совпадающих): $$x = \frac{-k}{a_{\text{коэф}}} = \frac{3}{9 - 0^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ * Если $a \neq 0$ (и $a \neq \pm 3$), то $D_1 > 0$, и уравнение имеет два различных корня: $$x_{1, 2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{9 - a^2} = \frac{3 \pm \sqrt{a^2}}{9 - a^2} = \frac{3 \pm |a|}{9 - a^2}$$ Поскольку знаки «$\pm$» учитывают оба значения модуля, можно записать: $$x_1 = \frac{3 - a}{9 - a^2} = \frac{3 - a}{(3 - a)(3 + a)} = \frac{1}{3 + a}$$ $$x_2 = \frac{3 + a}{9 - a^2} = \frac{3 + a}{(3 - a)(3 + a)} = \frac{1}{3 - a}$$ Заметим, что при $a = 0$ формула дает совпадающие корни $x_1 = x_2 = \frac{1}{3}$, а при $a = 3$ и $a = -3$ одна из дробей дает значение $\frac{1}{6}$. ### Ответ: * при $a = 3$ корень $x = \frac{1}{6}$; * при $a = -3$ корень $x = \frac{1}{6}$; * при $a = 0$ корень $x = \frac{1}{3}$; * при $a \neq \pm 3$ и $a \neq 0$ корни $x_1 = \frac{1}{3 + a}$, $x_2 = \frac{1}{3 - a}$.