ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 2 / вариант 2 - 8

Упростим данное выражение, представив каждое подкоренное выражение в виде полного квадрата разности вида $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. 1. Преобразуем выражение под первым корнем: $$ 12 - 2\sqrt{11} = 11 - 2\sqrt{11} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{11})^2 - 2 \cdot \sqrt{11} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{11} - 1)^2 $$ Тогда: $$ \sqrt{12 - 2\sqrt{11}} = \sqrt{(\sqrt{11} - 1)^2} = |\sqrt{11} - 1| $$ Так как $\sqrt{11} > \sqrt{1} = 1$, разность положительна, следовательно: $$ |\sqrt{11} - 1| = \sqrt{11} - 1 $$ 2. Преобразуем выражение под вторым корнем: Разложим удвоенное произведение: $14\sqrt{11} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{11}$. Сумма квадратов чисел $7$ и $\sqrt{11}$ равна: $7^2 + (\sqrt{11})^2 = 49 + 11 = 60$. Следовательно: $$ 60 - 14\sqrt{11} = 49 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{11} + 11 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = (7 - \sqrt{11})^2 $$ Тогда: $$ \sqrt{60 - 14\sqrt{11}} = \sqrt{(7 - \sqrt{11})^2} = |7 - \sqrt{11}| $$ Так как $7 = \sqrt{49} > \sqrt{11}$, значение под модулем положительно, следовательно: $$ |7 - \sqrt{11}| = 7 - \sqrt{11} $$ 3. Подставим найденные значения в исходное выражение: $$ \sqrt{12 - 2\sqrt{11}} + \sqrt{60 - 14\sqrt{11}} = (\sqrt{11} - 1) + (7 - \sqrt{11}) = \sqrt{11} - 1 + 7 - \sqrt{11} = 6 $$ Ответ: 6