ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 3 / вариант 1 - 1

Последовательность с отличными от нуля членами является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда отношение любого её члена к предыдущему является постоянным числом, не зависящим от номера $n$: $$ \frac{x_{n+1}}{x_n} = q = \text{const} $$ Дана последовательность: $$ x_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n} $$ Запишем выражение для $(n+1)$-го члена: $$ x_{n+1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2(n+1)} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n+2} $$ Заметим, что $x_n \neq 0$ при всех $n \in \mathbb{N}$. Составим отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$: $$ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{2n+2}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{(2n+2) - 2n} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$ Отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{4}{9}$ является постоянным числом и не зависит от $n$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{4}{9}$ (и первым членом $x_1 = \frac{4}{9}$). Ответ: является.