ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 3 / вариант 1 - 2

Последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если отношение любого её члена к предыдущему является постоянным числом, отличным от нуля: $$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = q = \text{const} \ne 0 $$ Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Найдем $(n+1)$-й член заданной последовательности: $$ b_{n+1} = 3^{(n+1)-1} \cdot 7^{2-(n+1)} = 3^n \cdot 7^{1-n} $$ Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$: $$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^n \cdot 7^{1-n}}{3^{n-1} \cdot 7^{2-n}} = 3^{n-(n-1)} \cdot 7^{(1-n)-(2-n)} = 3^1 \cdot 7^{-1} = \frac{3}{7} $$ Так как отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3}{7}$ является постоянным числом для любого натурального $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем: $$ q = \frac{3}{7} $$ Первый член прогрессии: $$ b_1 = 3^{1-1} \cdot 7^{2-1} = 3^0 \cdot 7^1 = 7 \ne 0 $$ Проверим условие бесконечного убывания: $$ |q| = \left|\frac{3}{7}\right| = \frac{3}{7} < 1 $$ Так как $|q| < 1$, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ответ: да, является.