ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 1 - 12

Пусть весь объем работы по ремонту участка дороги равен $1$. Обозначим через $x$ ч время, необходимое для выполнения всей работы первой бригаде, работающей отдельно, а через $y$ ч — время, необходимое второй бригаде ($x > 0$, $y > 0$). Тогда производительность первой бригады составляет $\dfrac{1}{x}$ часть дороги в час, а второй бригады — $\dfrac{1}{y}$ часть дороги в час. По условию задачи: 1. Работая вместе, обе бригады отремонтировали участок за $4$ ч: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} $$ 2. Если сначала одна бригада выполнит половину работы ($\dfrac{1}{2}$ участка за $\dfrac{x}{2}$ ч), а затем вторая бригада — оставшуюся часть ($\dfrac{1}{2}$ участка за $\dfrac{y}{2}$ ч), то на весь ремонт уйдет $9$ ч: $$ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9 $$ Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}, \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 9. \end{cases} $$ Умножим обе части второго уравнения на $2$: $$ x + y = 18 \implies y = 18 - x $$ Так как $y > 0$, то $0 < x < 18$. Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{18 - x} = \frac{1}{4} $$ Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{18 - x + x}{x(18 - x)} = \frac{1}{4} $$ $$ \frac{18}{18x - x^2} = \frac{1}{4} $$ Используя основное свойство пропорции, перейдем к квадратному уравнению: $$ 18x - x^2 = 72 $$ $$ x^2 - 18x + 72 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36 = 6^2 $$ $$ x_1 = \frac{18 + 6}{2} = 12 $$ $$ x_2 = \frac{18 - 6}{2} = 6 $$ Оба значения удовлетворяют условию $0 < x < 18$. Найдем соответствующее значение $y$: - если $x = 12$, то $y = 18 - 12 = 6$; - если $x = 6$, то $y = 18 - 6 = 12$. Таким образом, одна из бригад может отремонтировать весь участок за $6$ ч, а другая — за $12$ ч. Ответ: $6$ ч и $12$ ч.