По данным на рисунке найдите ∠NMK, если ON = 3, OM = 6, а прямые MN и MK являются касательными к окружности.

Решим обе задачи, используя свойства касательных к окружности: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной ($\angle ONM = \angle OKM = 90^\circ$), и отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. ### Задача 1 **Дано:** $\triangle ONK$ — окружность с центром $O$. $MN, MK$ — касательные. $ON = 3$ (радиус). $OM = 6$. **Найти:** $\angle NMK$. **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle ONM$. Он прямоугольный ($\angle ONM = 90^\circ$, так как $MN$ — касательная). 2. В прямоугольном треугольнике катет $ON = 3$, гипотенуза $OM = 6$. 3. Заметим, что катет равен половине гипотенузы ($ON = \frac{1}{2} OM$). Следовательно, противолежащий ему угол $\angle NMO = 30^\circ$. 4. Центр окружности лежит на биссектрисе угла между касательными, значит, $OM$ — биссектриса $\angle NMK$. 5. $\angle NMK = 2 \cdot \angle NMO = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. **Ответ:** $60^\circ$. ### Задача 2 **Дано:** $\triangle ONK$ — окружность с центром $O$. $KM, KN$ — касательные. $OM = 7$ (радиус). $\angle NOM = 120^\circ$. **Найти:** $KO$. **Решение:** 1. Касательные, проведенные из одной точки, равны, и центр $O$ лежит на биссектрисе угла $MKN$. Также треугольники $\triangle OKM$ и $\triangle OKN$ равны (по двум катетам или катету и гипотенузе). 2. В четырехугольнике $OMKN$ сумма углов равна $360^\circ$. $\angle M = 90^\circ$, $\angle N = 90^\circ$. 3. Это не совсем подходит для нахождения $KO$. Посмотрим иначе: $\triangle OKM$ — прямоугольный ($\angle KM O = 90^\circ$). 4. Здесь нам нужно найти гипотенузу $KO$. В условии дана $\angle NOM = 120^\circ$. Это центральный угол. Однако по рисунку и условию $KM, KN$ — касательные, значит $\angle KMO = 90^\circ$ и $\angle KNO = 90^\circ$. В четырехугольнике $OMKN$: $\angle M + \angle N = 180^\circ$. Значит $\angle MKN + \angle MON = 180^\circ$. 5. В условии опечатка, вероятно, имеется в виду угол $\angle KOM$, а не $\angle NOM$ (так как $NOM$ — центральный угол, он не может быть $120^\circ$ в такой конфигурации, он был бы больше развернутого или внешним). Если $\angle KOM = 120^\circ$ (что невозможно для прямоугольного треугольника) или $\angle MOK = 120/2 = 60^\circ$ (биссектриса). 6. Если $\angle MOK = 60^\circ$, то в прямоугольном $\triangle OMK$: $\cos(60^\circ) = \frac{OM}{OK} = \frac{7}{OK}$. 7. $OK = \frac{7}{\cos(60^\circ)} = \frac{7}{0,5} = 14$. **Ответ:** 14.