Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T0 + bt + at^2, где t — время в минутах, T0 = 1400 К, a = -10 К/мин^2, b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Для решения задачи воспользуемся формулой зависимости температуры от времени: $T(t) = T_0 + bt + at^2$. Подставим известные значения: $T_0 = 1400$, $b = 200$, $a = -10$. Условие: $T(t) \leq 1760$. 1. Составим неравенство: $1400 + 200t - 10t^2 \leq 1760$ 2. Перенесем все члены в правую часть для удобства: $0 \leq 10t^2 - 200t + 1760 - 1400$ $10t^2 - 200t + 360 \geq 0$ 3. Разделим обе части на 10: $t^2 - 20t + 36 \geq 0$ 4. Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 20t + 36 = 0$ через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256 = 16^2$ $t_1 = \frac{20 - 16}{2} = 2$ $t_2 = \frac{20 + 16}{2} = 18$ Парабола $t^2 - 20t + 36$ направлена ветвями вверх, поэтому она больше или равна нулю при $t \leq 2$ и $t \geq 18$. Так как прибор начинает работу с момента $t=0$ и его температура растет, до 2 минут температура ниже 1760 К, затем она превышает этот порог, а к 18 минутам опускается снова. Наибольшее время, в течение которого прибор остается безопасным после запуска (с учетом того, что он работает от 0 до 18 минут, а после 18 минут температура падает ниже критической), нас просят найти «наибольшее время после начала работы», когда нужно отключить прибор. Поскольку температура превышает 1760 К в интервале от 2 до 18 минут, прибор нужно отключить не позднее достижения критической температуры, то есть в момент $t=2$ (если его нельзя перегревать). Однако, если мы ищем *наибольшее время*, после которого прибор гарантированно нужно выключить, чтобы не получить перегрев, мы рассматриваем граничные условия. Наибольшее время, при котором температура равна 1760 К — это 18 минут. Ответ: 18