9. Решите уравнение: $\sqrt{x^3 + 8} + \sqrt[4]{x^3+8} = 6$:

Решение заданий: 9. Решение: $\sqrt{x^3+8} + \sqrt[4]{x^3+8} = 6$. Пусть $\sqrt[4]{x^3+8} = y$, где $y \ge 0$. Тогда $(\sqrt[4]{x^3+8})^2 = y^2 = \sqrt{x^3+8}$. Уравнение принимает вид: $y^2 + y - 6 = 0$. По теореме Виета корни: $y_1 = -3$ (не подходит, так как $y \ge 0$), $y_2 = 2$. Значит, $\sqrt[4]{x^3+8} = 2$, откуда $x^3 + 8 = 2^4$, $x^3 + 8 = 16$, $x^3 = 8$, $x = 2$. Ответ: б) 2. 10. Решение: $\frac{(2m+5n)^2 - (2m-5n)^2}{4} = \frac{(2m+5n - (2m-5n))(2m+5n + (2m-5n))}{4} = \frac{(2m+5n - 2m+5n)(2m+5n + 2m-5n)}{4} = \frac{(10n)(4m)}{4} = \frac{40mn}{4} = 10mn$. Ответ: б) 10mn. 11. Решение: $\begin{cases} 5x - 3 \le 3x - 7 \\ 9 - 4x > 25 \end{cases}$ 1) $5x - 3x \le -7 + 3 \Rightarrow 2x \le -4 \Rightarrow x \le -2$. 2) $-4x > 25 - 9 \Rightarrow -4x > 16 \Rightarrow x < -4$. Общее решение: $x < -4$ или $(-\infty; -4)$. Ответ: в) $(-\infty; -4)$. 12. Решение: Скорость есть производная от пути по времени: $v(t) = s'(t)$. $s(t) = \frac{1}{3}t^3 + 4t + 1$. $v(t) = (\frac{1}{3}t^3)' + (4t)' + (1)' = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 4 = t^2 + 4$. Через 3 секунды: $v(3) = 3^2 + 4 = 9 + 4 = 13$ м/с. Ответ: б) 13 м/с. 13. Решение: $2 \frac{2}{3} + \int_0^1 2x^5 dx = \frac{8}{3} + [2 \cdot \frac{x^6}{6}]_0^1 = \frac{8}{3} + [\frac{x^6}{3}]_0^1 = \frac{8}{3} + (\frac{1}{3} - 0) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Ответ: а) 3.