По данным на рисунке найдите ∠NMK, если ON = 3, OM = 6, а прямые MN и MK являются касательными к окружности. Ответ дайте в градусах.

### Решение задачи 1: 1. Радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Значит, $\angle ONM = 90^\circ$, и $\triangle ONM$ — прямоугольный. 2. В прямоугольном треугольнике $ONM$: $ON = 3$ (катет), $OM = 6$ (гипотенуза). 3. Найдем синус угла $\angle NMO$: $\sin(\angle NMO) = \frac{ON}{OM} = \frac{3}{6} = 0,5$. 4. Угол, синус которого равен $0,5$, составляет $30^\circ$. Следовательно, $\angle NMO = 30^\circ$. 5. Так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, симметричны относительно прямой, соединяющей центр с этой точкой, то $\triangle ONM = \triangle OKM$ (по гипотенузе и катету). Значит, $\angle NMK = 2 \times \angle NMO = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$. **Ответ: 60** ### Решение задачи 2: 1. Рассмотрим $\triangle KOM$. Аналогично первой задаче, $\triangle KOM$ — прямоугольный (так как радиус $OM \perp$ касательной $KM$). 2. Угол $\angle KOM = \angle NOM = 120^\circ$ (по условию). 3. Однако здесь важный момент: в треугольнике $KOM$ сумма углов $180^\circ$. Если $\angle MKO$ — это часть угла при вершине $K$, то мы ищем гипотенузу $KO$. 4. В прямоугольном треугольнике $\triangle KOM$: $\angle KMO = 90^\circ$ (радиус перпендикулярен касательной). Тогда $\sin(\angle MKO) = \frac{OM}{OK}$. 5. Внимание: в условии сказано $\angle NOM = 120^\circ$, но $O, M, K$ образуют прямоугольный треугольник, где угол $M$ — прямой (угол между радиусом и касательной). Значит, угол при вершине $O$ в треугольнике $KOM$ равен $180^\circ - 90^\circ - \angle MKO = 90^\circ - \angle MKO$. Вероятно, подразумевался угол при центре $O$. Если весь угол $\angle NOK = 120^\circ$, то $\angle KOM = 60^\circ$. 6. Тогда в $\triangle KOM$: $\cos(\angle KOM) = \frac{OM}{OK} \Rightarrow \cos(60^\circ) = \frac{7}{OK} \Rightarrow 0,5 = \frac{7}{OK} \Rightarrow OK = 14$. **Ответ: 14**