3.1 Рассчитайте, при каком значении сопротивления исследуемой цепи г относительное изменение напряжения εv = |U1 - Ũ1| / U1 не превышает 1%.

### Решение: 1. **Напряжение до подключения вольтметра ($U_1$):** Согласно схеме делителя напряжения, $U_1$ — это напряжение на резисторе $R_1$. По закону Ома для участка цепи: $U_1 = U_0 \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}$ 2. **Напряжение при подключенном вольтметре ($\tilde{U}_1$):** При подключении вольтметра с сопротивлением $R_V$ параллельно резистору $R_1$, их общее сопротивление становится равным $R_{1V} = \frac{R_1 R_V}{R_1 + R_V}$. Тогда напряжение на этом участке будет: $\tilde{U}_1 = U_0 \cdot \frac{R_{1V}}{R_{1V} + R_2} = U_0 \cdot \frac{\frac{R_1 R_V}{R_1 + R_V}}{\frac{R_1 R_V}{R_1 + R_V} + R_2} = U_0 \cdot \frac{R_1 R_V}{R_1 R_V + R_2(R_1 + R_V)}$ 3. **Относительная погрешность ($\varepsilon_v$):** $\varepsilon_v = \left| \frac{U_1 - \tilde{U}_1}{U_1} \right| = \left| 1 - \frac{\tilde{U}_1}{U_1} \right|$ Вычислим отношение $\frac{\tilde{U}_1}{U_1}$: $\frac{\tilde{U}_1}{U_1} = \frac{R_1 R_V}{R_1 R_V + R_1 R_2 + R_2 R_V} \cdot \frac{R_1 + R_2}{R_1} = \frac{R_V(R_1 + R_2)}{R_1 R_V + R_2 R_1 + R_2 R_V} = \frac{1 + \frac{R_2}{R_1}}{1 + \frac{R_2}{R_1} + \frac{R_2}{R_V}}$ Отсюда $\varepsilon_v = 1 - \frac{1 + R_2/R_1}{1 + R_2/R_1 + R_2/R_V} = \frac{R_2/R_V}{1 + R_2/R_1 + R_2/R_V} \approx \frac{R_2}{R_V(1 + R_2/R_1)}$ при условии $R_V \gg R_2$ (или если $\varepsilon_v$ мало, то $1 + R_2/R_1 + R_2/R_V \approx 1 + R_2/R_1$). Точная формула: $\varepsilon_v = \frac{R_2}{R_V(1 + R_2/R_1) + R_2}$. 4. **Численный расчет:** Дано: $R_1 = 10 \text{ Ом}$, $R_2 = 10 \text{ Ом}$, $\varepsilon_v \le 0,01$. $0,01 = \frac{10}{R_V(1 + 10/10) + 10} = \frac{10}{2 R_V + 10}$ $0,01(2 R_V + 10) = 10 \Rightarrow 0,02 R_V + 0,1 = 10 \Rightarrow 0,02 R_V = 9,9$ $R_V = 9,9 / 0,02 = 495 \text{ Ом}$. **Ответ:** Сопротивление вольтметра должно быть не менее $495 \text{ Ом}$.