Решите уравнение log_2(x) = log_4(x^2).

Давай разберем эти задания по логарифмам: 1. **Решите уравнение $\log_2(x) = \log_4(x^2)$** - ОДЗ: $x > 0$. - Преобразуем правую часть: $\log_4(x^2) = \log_{2^2}(x^2) = \frac{2}{2} \log_2|x| = \log_2|x|$. - Так как по ОДЗ $x > 0$, то $|x| = x$. Получаем уравнение $\log_2(x) = \log_2(x)$, которое верно при всех $x > 0$. - **Ответ:** $x > 0$. 2. **Решите логарифмическое уравнение: $\log_3(x) + \log_3(x - 2) = 1$** - ОДЗ: $x > 0$ и $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$. - Используем свойство суммы логарифмов: $\log_3(x(x - 2)) = 1$. - По определению логарифма: $x(x - 2) = 3^1 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$. - Решим уравнение через дискриминант или теорему Виета: корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$. - Проверим ОДЗ: $x = 3$ (подходит, так как $3 > 2$), $x = -1$ (не подходит). - **Ответ:** $x = 3$. 3. **Свойство $\log_b(x^k)$ равно:** - По свойству логарифма степени аргумента: показатель степени можно вынести как множитель перед логарифмом. - Формула: $\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$. - **Ответ:** $k \cdot \log_b x$.