2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Дано z1 = -2 + 2i, z2 = 3e^iπ/2. Найти сопряженные к ним числа. Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление данных чисел.

### Решение задачи 2 Дано: $z_1 = -2 + 2i$, $z_2 = 3e^{i\pi/2}$. 1. Приведем $z_2$ к алгебраической форме: $z_2 = 3(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) = 3(0 + i \cdot 1) = 3i$. 2. Найдем сопряженные числа: $\bar{z_1} = -2 - 2i$. $\bar{z_2} = -3i$. 3. Выполним действия: - Сложение: $z_1 + z_2 = (-2 + 2i) + 3i = -2 + 5i$. - Вычитание: $z_1 - z_2 = (-2 + 2i) - 3i = -2 - i$. - Умножение: $z_1 \cdot z_2 = (-2 + 2i) \cdot 3i = -6i + 6i^2 = -6 - 6i$. - Деление: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{-2 + 2i}{3i} = \frac{-2}{3i} + \frac{2i}{3i} = \frac{2}{3} + \frac{2i}{3i} = \frac{2}{3}i^{-1} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}i$. --- ### Решение задачи 3 Разложить функцию $f(x) = x$ в ряд Фурье по синусам на интервале $(0; \pi)$. Формула разложения: $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$. Коэффициенты $b_n$ вычисляются по формуле: $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \sin(nx) dx$. Интегрируем по частям: $u = x, dv = \sin(nx)dx \Rightarrow du = dx, v = -\frac{\cos(nx)}{n}$. $b_n = \frac{2}{\pi} \left( [ -x \frac{\cos(nx)}{n} ]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} -\frac{\cos(nx)}{n} dx \right)$ $b_n = \frac{2}{\pi} \left( -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} + 0 + [ \frac{\sin(nx)}{n^2} ]_0^{\pi} \right)$ Так как $\cos(n\pi) = (-1)^n$ и $\sin(n\pi) = 0$: $b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) = -\frac{2(-1)^n}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$. Искомый ряд: $f(x) = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) = 2(\sin x - \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x - \dots)$.