### Решение задач (Вариант 1)
**1. В треугольнике ABC известно, что AC=BC, AB=15, cos(BAC)=sqrt(19)/10. Найдите высоту AH.**
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AC=BC$). Высота $AH$ падает на основание $BC$ (так как $AC=BC$, это высота к боковой стороне).
В треугольнике $ABC$ $\angle BAC = \angle ABC = \alpha$, где $\cos \alpha = \frac{\sqrt{19}}{10}$.
Тогда $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{19}{100}} = \sqrt{\frac{81}{100}} = 0.9$.
В треугольнике $AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$): $AH = AB \cdot \sin B = 15 \cdot 0.9 = 13.5$.
**Ответ: 13.5**
**2. Найдите значение выражения (1.92 - 0.244) / (0.192 - 2.44).**
$?rac{1.92 - 0.244}{0.192 - 2.44} = ?rac{1.676}{-2.248} \approx -0.7455$
*(Примечание: вероятно опечатка в условии, проверьте числа).*
**3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличится на 169. Найдите ребро куба.**
Пусть $x$ — ребро куба. $(x+1)^3 - x^3 = 169$
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 = 169$
$3x^2 + 3x - 168 = 0$
$x^2 + x - 56 = 0$
Корни уравнения: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{-1 \pm 15}{2}$.
$x = 7$ (так как длина > 0).
**Ответ: 7**
**4. В группе 9 человек, среди них Евгений и Марина. Группу случайным образом делят на 3 одинаковые по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Евгений и Марина окажутся в одной подгруппе.**
Всего мест 9. Евгений занимает любое место (это фиксировано). Остается 8 свободных мест, из них 2 в его подгруппе (всего в подгруппе 3 человека). Вероятность того, что Марина попадет на одно из 2 оставшихся мест в его подгруппе: $P = \frac{2}{8} = 0.25$.
**Ответ: 0.25**
**5. Найдите числовое значение выражения $\log_{18} 9 + \log_{18} 2$.**
$\log_{18} (9 \cdot 2) = \log_{18} 18 = 1$.
**Ответ: 1**
**6. Найдите корень уравнения $7^{5-2x} = 0.49 \cdot 10^{5-2x}$.**
$7^{5-2x} = (0.7)^2 \cdot 10^{5-2x} = \frac{7^2}{10^2} \cdot 10^{5-2x} = 7^2 \cdot 10^{3-2x}$
$7^{5-2x} = 7^2 \cdot 10^{3-2x}$
Разделим на $7^2$: $7^{3-2x} = 10^{3-2x}$.
Это возможно только если показатель равен 0: $3 - 2x = 0 \Rightarrow x = 1.5$.
**Ответ: 1.5**
**7. Найдите значение выражения $\sqrt{89^2 - 39^2}$.**
$\sqrt{(89-39)(89+39)} = \sqrt{50 \cdot 128} = \sqrt{6400} = 80$.
**Ответ: 80**
**8. На рисунке изображён график $y=f'(x)$ - производной функции $f(x)$, определённой на интервале (-2;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=-3x+20$ или совпадает с ней.**
Условие параллельности: $f'(x) = -3$. Ищем точки пересечения графика $y=f'(x)$ с прямой $y=-3$. По графику на интервале (-2;9) таких точек 3.
**Ответ: 3**
**9. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 0.4 + 14t - 5t^2$. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?**
$0.4 + 14t - 5t^2 \ge 3$
$5t^2 - 14t + 2.6 \le 0$
Корни $5t^2 - 14t + 2.6 = 0$: $D = 196 - 52 = 144 = 12^2$.
$t_1 = (14-12)/10 = 0.2$, $t_2 = (14+12)/10 = 2.6$.
Длительность: $2.6 - 0.2 = 2.4$ сек.
**Ответ: 2.4**
**10. Васе надо решить 245 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.**
Сумма арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$245 = \frac{5 + a_7}{2} \cdot 7$
$245 = (5 + a_7) \cdot 3.5$
$70 = 5 + a_7 \Rightarrow a_7 = 65$.
**Ответ: 65**
**11. На рисунке изображены графики функций $f(x)=-4x^2-23x-31$ и $g(x)=ax^2+bx+c$, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.**
Для точного ответа нужно видеть значения координат точек пересечения на графике, так как параметры $a, b, c$ функции $g(x)$ не заданы явно числами. По графику точка $B$ находится в положительной области $x$, предположительно $x=1$ или $x=2$ (требуется уточнение по изображению).
