1. В треугольнике ABC известно, что AC=BC, AB=15, cos BAC = √19/10. Найдите высоту AH.

Привет! Давай разберем твои задания по порядку. 1. **Треугольник ABC:** Так как треугольник равнобедренный ($AC=BC$) и $AB=15$, проведем высоту $AH$ к боковой стороне $BC$. Из условия $\cos A = \frac{\sqrt{19}}{10}$, найдем $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{19}{100}} = \sqrt{\frac{81}{100}} = 0.9$. По формуле площади через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A$. Также $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$. Приравнивая: $AC \cdot AB \cdot \sin A = BC \cdot AH$. Так как $AC=BC$, сокращаем их: $AH = AB \cdot \sin A = 15 \cdot 0.9 = 13.5$. **Ответ: 13.5** 2. **Выражение:** $\frac{1.92 \cdot 0.244}{0.192 \cdot 2.44} = \frac{1.92}{0.192} \cdot \frac{0.244}{2.44} = 10 \cdot 0.1 = 1$. **Ответ: 1** 3. **Куб:** Пусть ребро куба равно $a$. Тогда $(a+1)^3 - a^3 = 169$. Раскроем скобки: $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 = 169 \Rightarrow 3a^2 + 3a - 168 = 0$. Разделим на 3: $a^2 + a - 56 = 0$. Корни: $a=7$ и $a=-8$. Так как длина ребра положительна, $a=7$. **Ответ: 7** 4. **Вероятность:** Евгения и Марину случайным образом распределяют в 3 группы по 3 человека. Вероятность того, что Марина попадет в группу к Евгению: у Евгения в группе есть 2 свободных места из 8 оставшихся мест в группе. Вероятность $P = \frac{2}{8} = 0.25$. **Ответ: 0.25** 5. **Логарифмы:** $\log_{18} 9 + \log_{18} 2 = \log_{18}(9 \cdot 2) = \log_{18} 18 = 1$. **Ответ: 1** 6. **Уравнение:** $7^{5-2x} = 0.49 \cdot 10^{5-2x}$. Разделим обе части на $10^{5-2x}$: $(\frac{7}{10})^{5-2x} = 0.49 \Rightarrow 0.7^{5-2x} = 0.7^2$. $5-2x = 2 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$. **Ответ: 1.5** 7. **Выражение:** $\sqrt{89^2 - 39^2} = \sqrt{(89-39)(89+39)} = \sqrt{50 \cdot 128} = \sqrt{6400} = 80$. **Ответ: 80** 8. **Производная:** Нужно найти количество точек, где касательная параллельна $y=-3x+20$, значит её коэффициент $k=-3$. По графику производной $f'(x)$ ищем количество пересечений с горизонтальной линией $y=-3$. На графике линия $y=-3$ пересекает кривую в 2 точках. **Ответ: 2** 9. **Высота мяча:** $h(t) = 0.4 + 14t - 5t^2 \ge 3 \Rightarrow -5t^2 + 14t - 2.6 \ge 0 \Rightarrow 5t^2 - 14t + 2.6 \le 0$. Корни уравнения $5t^2 - 14t + 2.6 = 0$: $t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 52}}{10} = \frac{14 \pm 12}{10}$. $t_1 = 0.2, t_2 = 2.6$. Разница: $2.6 - 0.2 = 2.4$. **Ответ: 2.4** 10. **Задачи:** Арифметическая прогрессия: $S_7 = 245$, $n=7$, $a_1=11$. $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \Rightarrow 245 = \frac{22 + 6d}{2} \cdot 7 \Rightarrow 35 = 11 + 3d \Rightarrow 3d = 24 \Rightarrow d = 8$. Последний день: $a_7 = a_1 + 6d = 11 + 6 \cdot 8 = 59$. **Ответ: 59** 11. **Графики:** Для решения нужно приравнять функции $f(x) = g(x)$, то есть $-4x^2 - 23x - 31 = ax^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $a, b, c$, нужно определить координаты нескольких точек второй параболы по графику (например, вершину и точки пересечения с осями) и подставить их в уравнение, а затем найти корни полученного квадратного уравнения. Так как координаты нечеткие, рекомендую уточнить значения по графику. 12. **Минимум функции:** Недостаточно данных для решения: не указан промежуток (интервал), на котором нужно найти наименьшее значение функции.