Решите уравнение: 2sin^2(x) - 5sin(x) - 3 / sqrt(x + pi/6) = 0

Для решения данного уравнения воспользуемся условием равенства дроби нулю. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. ### 1. ОДЗ (Область допустимых значений) Знаменатель должен быть строго больше нуля: $x + \frac{\pi}{6} > 0$ $x > -\frac{\pi}{6}$ ### 2. Решение числителя $2 \sin^2 x - 5 \sin x - 3 = 0$ Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. Тогда уравнение примет вид: $2t^2 - 5t - 3 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$ $t_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) $t_2 = \frac{5 - 7}{4} = -0.5$ Значит, $\sin x = -0.5$. Решаем: $x = (-1)^k \arcsin(-0.5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$ Это дает две серии решений: 1) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ 2) $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ ### 3. Проверка ОДЗ 1) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$. При $k=0, x = -\frac{\pi}{6}$. Это значение не входит в ОДЗ ($x > -\frac{\pi}{6}$). При $k=1, x = \frac{11\pi}{6} > -\frac{\pi}{6}$ (подходит). Значит, подходят $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ при $k \ge 1$. 2) $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. При $k=1, x = \frac{7\pi}{6} > -\frac{\pi}{6}$ (подходит). Значит, подходят $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ при $k \ge 1$. Объединяя, получаем серию: $x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$, где $x > -\frac{\pi}{6}$.