Контрольная работа по математике для студентов 1 курса

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по порядку. ### Задание № 1 Упростим выражение: $\frac{3\cos(\pi-\beta) + \sin(\frac{\pi}{2}+\beta)}{\cos(\beta+3\pi)}$ Применим формулы приведения: 1. $\cos(\pi-\beta) = -\cos\beta$ 2. $\sin(\frac{\pi}{2}+\beta) = \cos\beta$ 3. $\cos(\beta+3\pi) = \cos(\beta+\pi) = -\cos\beta$ Подставим: $\frac{3(-\cos\beta) + \cos\beta}{-\cos\beta} = \frac{-2\cos\beta}{-\cos\beta} = 2$ **Ответ: 2** ### Задание № 2 $2\cos(4x) - 1 = 0$ $2\cos(4x) = 1$ $\cos(4x) = 0.5$ $4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$** ### Задание № 3 $49^{\log_7 8} = (7^2)^{\log_7 8} = 7^{2\log_7 8} = 7^{\log_7 8^2} = 8^2 = 64$ **Ответ: 64** ### Задание № 4 $5^{2x^2-6} = \frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$ Приравняем показатели: $2x^2 - 6 = -4$ $2x^2 = 2$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$ **Ответ: $\pm 1$** ### Задание № 5 $\log_4(x+8) = \log_4(5x-4)$ Область определения: $x+8 > 0$ и $5x-4 > 0 \implies x > 0.8$. $x+8 = 5x-4$ $12 = 4x$ $x = 3$ (удовлетворяет условию $x > 0.8$) **Ответ: 3** ### Задание № 6 Используем правило производной частного $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \frac{(x^2)'(5-4x) - x^2(5-4x)'}{(5-4x)^2} = \frac{2x(5-4x) - x^2(-4)}{(5-4x)^2} = \frac{10x - 8x^2 + 4x^2}{(5-4x)^2} = \frac{10x - 4x^2}{(5-4x)^2}$ **Ответ: $y' = \frac{10x - 4x^2}{(5-4x)^2}$** ### Задание № 7 $y = x^3 + 5x^2 + 7x - 5$ $y' = 3x^2 + 10x + 7$ Приравняем к 0: $3x^2 + 10x + 7 = 0$ $D = 100 - 4(3)(7) = 16$ $x_1 = \frac{-10+4}{6} = -1; \quad x_2 = \frac{-10-4}{6} = -\frac{7}{3}$ Проверим вторую производную $y'' = 6x + 10$: $y''(-1) = 6(-1)+10 = 4 > 0$ (минимум). $y''(-7/3) = 6(-7/3)+10 = -4 < 0$ (максимум). Точка минимума: $x = -1$. **Ответ: $x_{min} = -1$** ### Задание № 8 $y = x^3 - 6x^2$ на $[-3; 3]$ $y' = 3x^2 - 12x = 3x(x-4)$. Критические точки: $0, 4$. В интервале $[-3; 3]$ лежит только $0$. Сравним значения на концах и в критической точке: $y(-3) = (-3)^3 - 6(-3)^2 = -27 - 54 = -81$ $y(0) = 0$ $y(3) = 3^3 - 6(3)^2 = 27 - 54 = -27$ Наибольшее значение: 0. Наименьшее: -81. **Ответ: $max = 0, min = -81$**