а) Решите уравнение cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = sin(pi/2 - 2x).

а) Решим уравнение $\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$. 1. Используем формулу косинуса двойного угла для левой части: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $\cos 2(\frac{x}{2}) = \cos x$. 2. Используем формулу приведения для правой части: $\sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha$. Значит, $\sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) = \cos 2x$. 3. Уравнение принимает вид: $\cos x = \cos 2x$. 4. Перенесем всё в одну сторону и используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $2\cos^2 x - 1 - \cos x = 0$ $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ 5. Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Решим квадратное уравнение $2t^2 - t - 1 = 0$: Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. $t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0,5$. 6. Вернемся к переменной $x$: - $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. - $\cos x = -0,5 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[\pi, \frac{5\pi}{2}]$. 1. Для $x = 2\pi n$: - При $n = 1$: $x = 2\pi$. (Входит в отрезок). 2. Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k = 0$: $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2,09$ (не входит). - При $k = 1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8,37$ (не входит, так как $\frac{5\pi}{2} = 2,5\pi$). 3. Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k = 1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4,18$ (не входит, так как $\pi \approx 3,14$, $\frac{5\pi}{2} = 2,5\pi = 7,85$). - При $k = 2$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10,47$ (не входит). Проверим еще значения: Интервал $[\pi, 2,5\pi] = [3,14; 7,85]$. Корни: $2\pi n$, $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. - $2\pi n = 2\pi$ (подходит, $2\pi \approx 6,28$) - $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ при $k=0$ (не), $k=1$ (не, $\frac{8\pi}{3} = 2,66\pi > 2,5\pi$) - $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ при $k=1$ (не, $4\pi/3 = 1,33\pi < \pi$) Ответ: а) $2\pi n; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$.