Контрольная работа: «Основы тригонометрии. Тригонометрические функции» 1 вариант

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по тригонометрии. ### 1. Вставьте пропущенные слова Если точке M числовой окружности соответствует число t, то ординату точки M называют **синусом** числа t и обозначают **sin t**. ### 2. Установите соответствие 1 — Г: $\text{tg } x = \frac{1}{\text{ctg } x}$ 2 — Д: $\text{tg}^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$ 3 — Е: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ 4 — В: $\sin(x + y) = \sin\frac{x+y}{2} \dots$ (формула суммы синусов, здесь видимо опечатка в условии, для $\sin(x+y)$ обычно $\sin x \cos y + \cos x \sin y$. Но если выбирать из предложенного, возможно подразумевается $\sin(x+y) = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$) 5 — Б: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 6 — А: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$ 7 — Ж: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$ ### 3. Найдите $\cos x$, если $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{3}$ и $x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$ Используем основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$. Так как четверть IV, косинус положителен: $\cos x = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$. ### 4. Вычислите: $\sin 72^\circ \cos 18^\circ + \cos 72^\circ \sin 18^\circ$ Это формула $\sin(\alpha + \beta) = \sin(72^\circ + 18^\circ) = \sin 90^\circ = 1$. ### 5. Решите уравнение: $\cos x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) + \cos(\pi + x) = 0$ Приводим по формулам приведения: $\cos x + \cos x - \cos x = 0$ $\cos x = 0$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 6. Решите уравнение: $\cos \frac{x}{2} = -1$ $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi n$ $x = 2\pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 7. Решите уравнение: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ Пусть $\sin x = t, |t| \le 1$. Тогда $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 0.5$. 1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ 2) $\sin x = 0.5 \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 8. Решите уравнение: $\sin(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ $4x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$ $4x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$ $x = \frac{\pi}{12} + (-1)^n \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$. ### 9. Запишите: а) Область определения функции $\sin x$: $x \in \mathbb{R}$ (все действительные числа). б) Множество значений функции $\sin x$: $[-1; 1]$. ### 10. Постройте график функции $y = -3\cos x$ График представляет собой косинусоиду, растянутую по вертикали в 3 раза и отраженную относительно оси $Ox$. Период $T = 2\pi$. Максимальные значения равны $3$ (при $x = \pi + 2\pi n$), минимальные $-3$ (при $x = 2\pi n$). :::div .chart-container @chart-1:::