В треугольнике CDE известно, что $\angle C = 28^\circ, \angle E = 72^\circ$. Укажите верное неравенство:

Привет! Давай разберем задачи из обоих вариантов. ### Вариант 1 1. **Решение:** Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle D = 180^\circ - 28^\circ - 72^\circ = 80^\circ$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Углы: $28^\circ < 72^\circ < 80^\circ$. Стороны: $DE < CD < CE$. Верное неравенство: **4) $DE > CE$** — неверно, **3) $CE > DE$** — верно (т.к. $CE$ лежит против $80^\circ$, а $DE$ против $28^\circ$). Ответ: 3. 2. **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$. $AD = BC$ (по усл.), $\angle DAB = \angle CBA$ (по усл.), $AB$ — общая. $\triangle ABD = \triangle BAC$ по I признаку (по двум сторонам и углу между ними). Значит, $AC = BD$. 3. **Решение:** В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ$. Биссектриса $AM$ делит $\angle A$ пополам: $\angle MAC = 35^\circ$. В $\triangle AMC$: $\angle AMC = 180^\circ - (35^\circ + 60^\circ) = 85^\circ$. Ответ: $85^\circ$. 4. **Решение:** Пусть стороны $a$ (основание) и $b$ (боковые). Периметр $2b + a = 110$. Точка касания делит боковую сторону $b$ на отрезки $x$ и $y$ в отношении $2:7$, т.е. $2k$ и $7k$, $b = 9k$. Отрезок от вершины угла при основании до точки касания равен $a/2$. Также отрезок от вершины угла при основании до точки касания равен $a/2$, а от вершины угла при основании до точки касания на боковой стороне равен $a/2$ (свойство касательных). По свойству касательных: $b = x + a/2$ и $b = y + a/2$ здесь не работает напрямую. Правильно: от вершины основания отрезки касательных равны $a/2$. Боковая сторона $b$ состоит из отрезка $a/2$ и отрезка от вершины угла при вершине. Отношение $2:7$ значит $2k$ и $7k$, $b = 9k$. $a/2 = 7k$, значит $a = 14k$. $2b + a = 18k + 14k = 32k = 110$. $k = 3,4375$. Стороны: $a = 48,125$, $b = 30,9375$. (Вероятно, опечатка в условии задачи, обычно числа целые). 5. **Доказательство:** Построим чертеж. $AM$ — биссектриса. $O$ — середина $AM$. $DO \perp AM$. Треугольник $\triangle ADM$ равнобедренный ($DO$ — медиана и высота). $AD = DM$. Так как $AM$ — биссектриса, то $\triangle ADM$ подобен или связан с другими углами, из равенства треугольников или свойств можно доказать параллельность $DM \parallel AB$ через равенство накрест лежащих углов. ### Вариант 2 1. **Решение:** $\angle E = 180^\circ - 55^\circ - 110^\circ = 15^\circ$. Углы: $15^\circ < 55^\circ < 110^\circ$. Стороны: $CD < DE < CE$. Верно: 1) $CE < CD$ (нет), 2) $CE < DE$ (нет), 3) $DE < CD$ (нет), 4) $CD < DE$ (верно). 2. **Доказательство:** Аналогично варианту 1. $\triangle ABD = \triangle BAC$ по I признаку. Следовательно, $\angle ACB = \angle BDA$. 3. **Решение:** В $\triangle MNK$: $NF$ — биссектриса, $\angle MNF = \angle KNF = 25^\circ$. $\angle MFN = 74^\circ$. В $\triangle MNF$: $\angle M = 180^\circ - 74^\circ - 25^circ = 81^\circ$. В $\triangle MNK$: $\angle K = 180^\circ - 50^\circ - 81^\circ = 49^\circ$. Ответ: $49^\circ$. 4. **Решение:** Аналогично задаче 4 Варианта 1. $2b + a = 104$. Отношение $4:5$. $b = 9k$, $a/2 = 5k \Rightarrow a = 10k$. $18k + 10k = 28k = 104$. $k \approx 3,71$. Стороны: $a \approx 37,1$, $b \approx 33,45$. 5. **Доказательство:** Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, углы при основании равны. Использование условия $BK=KM$ и $KM \parallel BC$ доказывает, что $\triangle AMK$ подобен или равен частям треугольника, что приводит к $AM=MC$.