Привет! Давай разберем задачи по порядку.
### 10. Логарифмическое уравнение
$\log_2(4 - x) = 7$
По определению логарифма: $4 - x = 2^7$
$4 - x = 128$
$x = 4 - 128 = -124$
**Ответ: -124**
### 11. Физическая задача (решение через формулу)
Дано: $l_0 = 20$ м, $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5} (^{\circ}C)^{-1}$, $\Delta l = 9$ мм = $0{,}009$ м.
Формула расширения: $l(t) = l_0(1 + \alpha t) = l_0 + l_0 \alpha t$. Значит, изменение длины $\Delta l = l_0 \alpha t$.
$0{,}009 = 20 \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-5} \cdot t$
$0{,}009 = 24 \cdot 10^{-5} \cdot t$
$t = \frac{0{,}009}{0{,}00024} = \frac{900}{24} = 37{,}5^{\circ}C$.
**Ответ: 37,5**
### 12. Комбинаторика
Выбираем 4 книги из 18 по истории: $C_{18}^4 = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3060$
Выбираем 2 книги из 5 по физике: $C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$
Всего способов: $3060 \cdot 10 = 30600$.
**Ответ: 30600**
### 13. Геометрия
Треугольник $ABC$, $AB = 25$ (боковая), высота $h = 20$ к основанию $AC$. Пусть $BH$ — высота. В $\Delta ABH$ ($H$ — середина $AC$): $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$.
$\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{15}{25} = 0{,}6$.
**Ответ: 0,6**
### 14. Показательное уравнение
$3^{x+2} \cdot 4^x = 108$
$3^x \cdot 9 \cdot 4^x = 108$
$12^x = \frac{108}{9} = 12^1$
$x = 1$.
**Ответ: 1**
### 15. Стереометрия
Параллелепипед описан около цилиндра. Значит, сторона основания параллелепипеда равна диаметру основания цилиндра ($d = 2r = 8$), а высота параллелепипеда равна высоте цилиндра ($H$).
Объем $V = S_{осн} \cdot H = (8 \cdot 8) \cdot H = 64H$.
$64H = 16 \Rightarrow H = \frac{16}{64} = 0{,}25$.
**Ответ: 0,25**
### 16. Вероятность
Всего спортсменок: $20$.
Спортсменок из Китая: $20 - 8 - 7 = 5$.
Вероятность: $P = \frac{5}{20} = 0{,}25$.
**Ответ: 0,25**
### 17. Неравенство
$\log_5(1 - 3x) \le 2$
ОДЗ: $1 - 3x > 0 \Rightarrow x < 1/3$.
$1 - 3x \le 5^2$
$1 - 3x \le 25$
$-3x \le 24 \Rightarrow x \ge -8$.
Ответ: $[-8; 1/3)$.
### 18. Неравенство
$(1/5)^x \ge 0{,}04$
$(1/5)^x \ge 1/25$
$(1/5)^x \ge (1/5)^2$
Так как $1/5 < 1$, знак меняется: $x \le 2$.
**Ответ: $x \le 2$**
### 19. Уравнение
$\log_3(x - 2) + \log_3(x + 2) = \log_3(2x - 1)$
ОДЗ: $x > 2$.
$\log_3((x-2)(x+2)) = \log_3(2x-1)$
$x^2 - 4 = 2x - 1$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 3, x_2 = -1$.
С учетом ОДЗ $x = 3$.
**Ответ: 3**
### 20. Уравнение
$(1/3)^{5x-1} + (1/3)^{5x} = 4/9$
$(1/3)^{5x-1} \cdot (1 + 1/3) = 4/9$
$(1/3)^{5x-1} \cdot (4/3) = 4/9$
$(1/3)^{5x-1} = (4/9) \cdot (3/4) = 1/3$
$5x - 1 = 1 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = 0{,}4$.
**Ответ: 0,4**
### 21. Система
$\begin{cases} \log_5 x + \log_5 y = 5 \\ \log_5 x - \log_5 y = 1 \end{cases}$
Сложим уравнения: $2 \log_5 x = 6 \Rightarrow \log_5 x = 3 \Rightarrow x = 125$.
Вычтем: $2 \log_5 y = 4 \Rightarrow \log_5 y = 2 \Rightarrow y = 25$.
**Ответ: (125; 25)**
### 22. Пирамида
Высота $H=3$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 80$. В основании квадрат со стороной $a$. Апофема $l = \sqrt{H^2 + (a/2)^2} = \sqrt{9 + a^2/4}$.
$S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot l) = 2a \sqrt{9 + a^2/4} = a \sqrt{36 + a^2} = 80$.
$a^2(36 + a^2) = 6400$.
Пусть $a^2 = t$: $t^2 + 36t - 6400 = 0$.
$D = 36^2 - 4(-6400) = 1296 + 25600 = 26896 = 164^2$.
$t = (-36 + 164)/2 = 64$ ($t>0$).
Значит, $a^2 = 64$, $a = 8$.
Объем $V = 1/3 \cdot S_{осн} \cdot H = 1/3 \cdot 64 \cdot 3 = 64$.
**Ответ: 64**
