10. От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Давай разберем задачи по очереди. ### Задача 10 У правильной пятиугольной призмы 7 граней (2 основания + 5 боковых граней) и 10 вершин (по 5 в каждом основании). Когда мы отпиливаем вершину, на месте каждой из 10 вершин появляется новая грань (треугольник). Кроме того, остаются старые грани: 2 пятиугольника (основания) превращаются в десятиугольники, а 5 прямоугольников (боковых граней) превращаются в пятиугольники (углы срезались). Итого: 10 новых треугольных граней + 2 десятиугольника + 5 пятиугольников = 17 граней. **Ответ: 17** ### Задача 11 У правильной треугольной пирамиды в основании равносторонний треугольник со стороной $a = 12$. Боковые ребра $b = 10$. Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10, 12. Найдем высоту $h_b$ боковой грани к основанию 12: $h_b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Площадь одной боковой грани: $S_{гр} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$. Так как граней 3, площадь боковой поверхности $S_{бок} = 3 \cdot 48 = 144$. **Ответ: 144** ### Задача 12 Фигура составлена из прямоугольного параллелепипеда, у которого вырезали часть. Площадь поверхности равна сумме площадей всех внешних граней. Фигура состоит из основного «блока» с вырезом. По рисунку видно, что площадь поверхности такой фигуры равна площади поверхности исходного параллелепипеда, так как «внутренние» стенки выреза компенсируют «отсутствующие» части исходных граней. Однако, проще посчитать по частям: 2 основания (верх/низ), передняя, задняя, левая и правая грани. Размеры блока: ширина 6, глубина 1, высота 4. Площадь $= 2 \cdot (6 \cdot 4 + 6 \cdot 1 + 4 \cdot 1) = 2 \cdot (24 + 6 + 4) = 68$. **Ответ: 68** ### Задача 13 Данные: 1) $A > B + V$ 2) $E > V > D$ Анализ утверждений: 1) $A$ самый старший? Да, так как $A$ больше суммы возрастов двух людей, он точно старше любого из них. Но сравнить его с $E$ напрямую нельзя, однако $A$ может быть старше $E$ (например, $B=1, D=2, V=3, E=4, A=8$ — тогда $8 > 1+3$, $A$ самый старший). Это утверждение верно. 2) $E > B$? Известно $E > V > D$, а про связь $E$ и $B$ информации нет. Неверно. 3) $A > D$? Да, так как $A > B + V$ и $V > D$, значит $A > D$ (так как $B$ и $V$ положительные возрасты). Верно. 4) $B > E$? Неизвестно. Неверно. Правильные: 13. **Ответ: 13** ### Задача 14 Пусть ребра $a=2, b=5$, высота $c$ неизвестна. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2c(a+b) = 84$. $2c(2+5) = 84$ $14c = 84$ $c = 6$. Объем $V = a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 5 \cdot 6 = 60$. **Ответ: 60**