Привет! Я помогу тебе разобраться с задачами из твоего экзаменационного листа. Давай решать по порядку.
### Задание 1
Найдите значение выражения $55,4 \cdot 10^3 + 2,8 \cdot 10^2$.
1. $55,4 \cdot 1000 = 55400$
2. $2,8 \cdot 100 = 280$
3. $55400 + 280 = 55680$
**Ответ: 55680**
### Задание 2
Кирилл загружает файл размером 35 Мб за 27 секунд. Степа загружает файл размером 28 Мб за 22 секунды. А Иван загружает файл размером 38 Мб за 30 секунд. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?
1. Найдем скорости загрузки (Мб/сек):
- Кирилл: $35 / 27 \approx 1,296$ Мб/с
- Степа: $28 / 22 \approx 1,273$ Мб/с
- Иван: $38 / 30 \approx 1,267$ Мб/с
Наибольшая скорость у Кирилла: $35/27$ Мб/с.
2. Время для файла 665 Мб:
$t = 665 / (35/27) = 665 \cdot 27 / 35 = 19 \cdot 27 = 513$ секунд.
**Ответ: 513**
### Задание 3
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Допущение: Основания трапеции — это горизонтальные отрезки, параллельные линиям сетки. По рисунку верхнее основание равно 2 клеткам ($a=2$), нижнее основание равно 4 клеткам ($b=4$), высота равна 3 клеткам ($h=3$).
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{2 + 4}{2} \cdot 3 = \frac{6}{2} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$.
**Ответ: 9**
### Задание 4
В школе девочки составляют 70% числа всех учащихся. Сколько в этой школе всего учащихся, если девочек в ней на 200 человек больше, чем мальчиков?
1. Если девочки составляют 70%, то мальчики: $100\% - 70\% = 30\%$.
2. Разница в процентах: $70\% - 30\% = 40\%$.
3. Эти 40% составляют 200 человек. Найдем 1%:
$200 / 40 = 5$ человек.
4. Всего учащихся (100%): $5 \cdot 100 = 500$.
**Ответ: 500**
### Задание 5
Найдите значение выражения $(169^2 - 231^2) \div 100$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$169^2 - 231^2 = (169 - 231)(169 + 231) = (-62) \cdot 400 = -24800$.
Разделим на 100:
$-24800 / 100 = -248$.
**Ответ: -248**
### Задание 6
Среднее геометрическое трех чисел $a, b, c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 15, 27.
$q = \sqrt[3]{5 \cdot 15 \cdot 27} = \sqrt[3]{5 \cdot (5 \cdot 3) \cdot 3^3} = \sqrt[3]{5^2 \cdot 3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{5^2 \cdot 3^4} = \sqrt[3]{25 \cdot 81} = \sqrt[3]{2025}$.
*Примечание: Похоже, здесь опечатка в условии (обычно подбирают числа, дающие полный куб), перепроверим произведение: $5 \cdot 15 \cdot 27 = 75 \cdot 27 = 2025$. Кубический корень из 2025 примерно 12,65.*
**Ответ: $\sqrt[3]{2025}$**
### Задание 7
Найдите корень уравнения и в ответ запишите наименьший из корней: $\log_5(x^2 + 44) = 3$.
1. По определению логарифма: $x^2 + 44 = 5^3$.
2. $x^2 + 44 = 125$.
3. $x^2 = 125 - 44 = 81$.
4. $x = 9$ или $x = -9$.
5. Наименьший корень: -9.
**Ответ: -9**
### Задание 8
На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 3 м, высота фонаря 8 м?
Используем подобие треугольников:
$\frac{H}{h} = \frac{L + x}{x}$, где $H=8$ (фонарь), $h=1,8$ (человек), $x=3$ (тень).
$\frac{8}{1,8} = \frac{L + 3}{3}$.
$8 \cdot 3 = 1,8 \cdot (L + 3)$.
$24 = 1,8L + 5,4$.
$1,8L = 18,6$.
$L = 18,6 / 1,8 = 186/18 = 31/3 \approx 10,33$ м.
**Ответ: 10,33**
### Задание 9
Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по двенадцати каналам из сорока восьми показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.
1. Всего каналов: 48.
2. Каналов с новостями: 12.
3. Каналов без новостей: $48 - 12 = 36$.
4. Вероятность $P = 36 / 48 = 3 / 4 = 0,75$.
**Ответ: 0,75**
### Задание 10
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 3. Объем параллелепипеда равен 24. Найдите площадь его поверхности.
1. Объем $V = a \cdot b \cdot c = 24$. Если $a=2, b=3$, то $2 \cdot 3 \cdot c = 24$, откуда $c = 4$.
2. Площадь поверхности $S = 2(ab + bc + ac) = 2(2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 4) = 2(6 + 12 + 8) = 2(26) = 52$.
**Ответ: 52**
