1) Решите уравнение 2cos^2 x + 3 cos x - 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

1) Решим уравнение $2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Тогда уравнение примет вид квадратного: $2t^2 + 3t - 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$. $t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$ (не подходит, так как $|\cos x| \le 1$). Вернемся к замене: $\cos x = 0,5$. $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. 2) Найдем корни на отрезке $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$. Корни общего вида: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Подставим значения $n$ для попадания в промежуток $[2\pi; 3,5\pi]$: - При $n = 1$: $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 2,33\pi$ (входит в промежуток). $x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 1,67\pi$ (не входит). - При $n = 2$: $x_3 = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \approx 4,33\pi$ (не входит). $x_4 = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \approx 3,67\pi$ (не входит). Однако, давайте проверим внимательнее границы. $2\pi = \frac{6\pi}{3}$. $\frac{7\pi}{2} = 3,5\pi = \frac{10,5\pi}{3}$. Корни: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$. При $n=1$: $x = \frac{7\pi}{3}$. $\frac{6\pi}{3} \le \frac{7\pi}{3} \le \frac{10,5\pi}{3}$ — Верно. $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$. При $n=2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Это больше, чем $3,5\pi$ ($3,67\pi > 3,5\pi$). Проверим еще один корень $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ — не входит. Корни уравнения на отрезке: $\frac{7\pi}{3}$. Ответ: 1) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; 2) $\frac{7\pi}{3}$.