А1. Найдите область определения функции y = sqrt(x^2 - x - 6)

Привет! Давай разберем твои задания по алгебре. **А1. Найдите область определения функции $y = \sqrt{x^2 - x - 6}$** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - x - 6 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$: по теореме Виета $x_1 = 3, x_2 = -2$. Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках $(-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$. **А2. Упростите $8^{1/3} \cdot 2^{1/4}$** Представим $8$ как $2^3$: $(2^3)^{1/3} \cdot 2^{1/4} = 2^{3 \cdot 1/3} \cdot 2^{1/4} = 2^1 \cdot 2^{1/4} = 2^{1 + 1/4} = 2^{5/4}$ (или $\sqrt[4]{32} = 2\sqrt[4]{2}$). **А3. Вычислите $\log_6 180 - \log_6 5$** Используем свойство логарифма разности: $\log_6 (180 / 5) = \log_6 36 = 2$. **А4. Найдите значение выражения $\frac{36}{3^{\log_3 18}}$** По основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3 18} = 18$. Тогда: $\frac{36}{18} = 2$. **А5. Найдите корень уравнения $\log_2 (7 + x) = 6$** По определению логарифма: $7 + x = 2^6 = 64$. $x = 64 - 7 = 57$. **А6. Найдите значение выражения $x^2 - 5y - x(2y + x)$ при $x = -1,5, y = 4$** Сначала упростим выражение: $x^2 - 5y - 2xy - x^2 = -5y - 2xy$. Подставим значения: $-5 \cdot 4 - 2 \cdot (-1,5) \cdot 4 = -20 + 3 \cdot 4 = -20 + 12 = -8$. **А7. Найдите значение выражения $\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{3} - 4 \cos^2 \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}$** Значения: $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Подставим: $\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} - 4 \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - 3 - \frac{3}{2} = -3$. **А8. Найдите производную функции $y = x^3 + 4x^2 + 6$** Применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $y' = 3x^2 + 4 \cdot 2x + 0 = 3x^2 + 8x$.