Билет №23 1. Площади поверхностей тел вращения. 2. Логарифм и его свойства.

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет №23. ### 1. Площади поверхностей тел вращения Площадь полной поверхности тела вращения складывается из площади боковой поверхности и площадей оснований. - **Цилиндр:** $S_{бок} = 2\pi RH$, $S_{полн} = 2\pi R(H + R)$. - **Конус:** $S_{бок} = \pi RL$, $S_{полн} = \pi R(L + R)$, где $L$ — образующая. - **Шар:** $S = 4\pi R^2$. ### 2. Логарифм и его свойства Логарифм числа $b$ по основанию $a$ ($\log_a b$) — это показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$ ($a^x = b$). - **Свойства:** - $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ - $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$ - $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x$ ### 3. Примеры 1) **Решение уравнений:** - $4^x = 64 \implies 4^x = 4^3 \implies x = 3$. - $\log_5 x + \log_5 x = \log_5 16 \implies 2\log_5 x = \log_5 16 \implies \log_5 x^2 = \log_5 16 \implies x^2 = 16$. Так как $x > 0$ (область допустимых значений), получаем $x = 4$. 2) **Исследование функции $f(x) = x^2 + 2$:** - Это квадратичная функция. График — парабола с ветвями вверх, вершина в точке $(0; 2)$. - Область определения: $x \in \mathbb{R}$. - Область значений: $y \ge 2$. - Функция четная, симметрична относительно оси $Oy$. :::div .chart-container @chart-1::: ### 4. Задача Даны точки $A(0; 1; 2)$, $B(-1; 0; 1)$, $C(3; -2; 2)$, $D(2; -3; 1)$. Параллельный перенос задается вектором $\vec{a} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$. - Вектор $\vec{AB} = \{-1 - 0; 0 - 1; 1 - 2\} = \{-1; -1; -1\}$. - Вектор $\vec{CD} = \{2 - 3; -3 - (-2); 1 - 2\} = \{-1; -1; -1\}$. Так как $\vec{AB} = \vec{CD}$, параллельный перенос существует. **Ответ:** Да, существует.