Тренировочный билет: 1. Найти значение выражения: 7^9 * 3^10 : 21^10

### 1. Нахождение значения выражения $7^9 \cdot 3^{10} : 21^{10} = 7^9 \cdot 3^{10} : (7 \cdot 3)^{10} = 7^9 \cdot 3^{10} : (7^{10} \cdot 3^{10}) = \frac{7^9 \cdot 3^{10}}{7^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{7^9}{7^{10}} = \frac{1}{7} \approx 0,1428$ ### 2. Решение уравнения $\sqrt{112 - 6x} = x$ Возведем в квадрат (при условии $x \ge 0$): $112 - 6x = x^2$ $x^2 + 6x - 112 = 0$ $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-112) = 36 + 448 = 484 = 22^2$ $x_1 = \frac{-6 + 22}{2} = 8$ $x_2 = \frac{-6 - 22}{2} = -14$ (не подходит, так как $x \ge 0$) **Ответ: 8** ### 3. Концентрация раствора Объем первого раствора $V_1 = 4$ л, концентрация $15\% = 0,15$. Масса вещества: $4 \cdot 0,15 = 0,6$ л. Объем второго раствора $V_2 = 6$ л, концентрация $25\% = 0,25$. Масса вещества: $6 \cdot 0,25 = 1,5$ л. Смешанный объем: $4 + 6 = 10$ л. Суммарная масса вещества: $0,6 + 1,5 = 2,1$ л. Концентрация: $\frac{2,1}{10} = 0,21$ или $21\%$. **Ответ: 21%** ### 4. Длина вектора $\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}$ $\vec{a} = (2; -3) \implies 2\vec{a} = (4; -6)$ $\vec{c} = (4 + 0; -6 + 1) = (4; -5)$ $|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$ **Ответ: \sqrt{41}** ### 5. Площадь треугольника В прямоугольном $\triangle ABC$ ($C=90^{\circ}$): $AC = 2\sqrt{19}$, $AB = 20$. Найдем катет $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - (2\sqrt{19})^2} = \sqrt{400 - 76} = \sqrt{324} = 18$ $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{19} \cdot 18 = 18\sqrt{19}$ **Ответ: 18\sqrt{19}** ### 6. Момент времени $S(t) = 3t^2 - 19t + 2$ Скорость $v(t) = S'(t) = 6t - 19$ $6t - 19 = 17 \implies 6t = 36 \implies t = 6$ с. **Ответ: 6** ### 7. Площадь поверхности параллелепипеда $S = 2(ab + bc + ac) = 2(8 \cdot 10 + 10 \cdot 20 + 8 \cdot 20) = 2(80 + 200 + 160) = 2(440) = 880$ см$^2$. **Ответ: 880** ### 8. Точка максимума $f(x) = x^3 - 6x^2 + 10$ $f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$ Критические точки: $x = 0$ и $x = 4$. При переходе через $x = 0$ производная меняет знак с $+$ на $-$, значит, $x = 0$ — точка максимума. **Ответ: 0** ### 9. Площадь осевого сечения Вращение прямоугольного треугольника с катетами $12$ и $5$ вокруг большего катета ($12$) образует конус. Осевое сечение — равнобедренный треугольник с высотой $H = 12$ и основанием, равным диаметру конуса ($2 \times 5 = 10$). $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$. **Ответ: 60** ### 10. Объем детали Площадь основания призмы $S = \frac{V_{воды}}{h_1} = \frac{2300}{23} = 100$ см$^2$. Изменение уровня воды $\Delta h = 27 - 23 = 4$ см. Объем детали $V_{дет} = S \cdot \Delta h = 100 \cdot 4 = 400$ см$^3$. **Ответ: 400**