1. Найти значение выражения: √(70^2 - 42^2).

1. $\sqrt{70^2 - 42^2} = \sqrt{(70-42)(70+42)} = \sqrt{28 \cdot 112} = \sqrt{28 \cdot 28 \cdot 4} = 28 \cdot 2 = 56$. 2. $x = \frac{9x+8}{x+2} \Rightarrow x^2+2x = 9x+8 \Rightarrow x^2-7x-8=0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 8$. Больший корень равен 8. 3. Прибыль в 2015: 8000. В 2016: $8000 + 200\% \text{ от } 8000 = 8000 + 16000 = 24000$. В 2017: $24000 + 200\% \text{ от } 24000 = 24000 + 48000 = 72000$. Ответ: 72000. 4. Координаты середины $M(x;y)$: $x = \frac{16+14}{2} = 15$, $y = \frac{4+12}{2} = 8$. Ответ: (15; 8). 5. $BC^2 = AB^2 - AC^2 = (10\sqrt{2})^2 - (7\sqrt{2})^2 = 200 - 98 = 102$. $BC = \sqrt{102}$. Площадь $S = 0.5 \cdot AC \cdot BC = 0.5 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \sqrt{102} = 3.5 \sqrt{204} = 3.5 \cdot 2 \sqrt{51} = 7\sqrt{51}$. 6. $v(t) = S'(t) = 2t - 4$. При $v(t)=6$: $2t-4=6 \Rightarrow 2t=10 \Rightarrow t=5$. Ответ: 5 с. 7. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - 0.25 = 0.75$. Так как $x$ во второй четверти, $\cos x = -\sqrt{0.75} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. 8. $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$. Приравняем к нулю: $x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Это точки экстремума. 9. $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Высота $h=24$, радиус $r = \frac{20}{2} = 10$. $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 100 \cdot 24 = 800\pi$. 10. Объем цилиндра $V = S_{осн} \cdot h$. $V_{вод} = S_{осн} \cdot 12 = 2000$. $S_{осн} = \frac{2000}{12} = \frac{500}{3}$. Объем детали равен объему вытесненной воды: $V_{дет} = S_{осн} \cdot \Delta h = \frac{500}{3} \cdot 9 = 1500 \text{ см}^3$.