Тренировочный билет 1) log11 77 - log11 7

1) Используем свойство логарифма $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$: $\log_{11} (77/7) = \log_{11} 11 = 1$. **Ответ: 1** 2) $\frac{x+7}{2x-4} = \frac{x+7}{4x-2}$. При $x=-7$ числители равны $0$, уравнение верно. При $x \neq -7$, делим обе части на $(x+7)$: $\frac{1}{2x-4} = \frac{1}{4x-2} \Rightarrow 4x-2 = 2x-4 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$. Корни $-7$ и $-1$. Больший — $-1$. **Ответ: -1** 3) Скорость $v = 96$ км/ч $= 96 \cdot \frac{1000}{3600}$ м/с $= \frac{960}{36}$ м/с $= \frac{80}{3}$ м/с. Длина поезда $L = v \cdot t = \frac{80}{3} \cdot 42 = 80 \cdot 14 = 1120$ м. **Ответ: 1120** 4) $\vec{c} = (2;0) + 3(1;4) = (2+3; 0+12) = (5; 12)$. Длина $|\vec{c}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$. **Ответ: 13** 5) В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ$, $\cos A = \frac{AC}{AB}$. $\tan A = 2\sqrt{2} = \frac{BC}{AC}$. Используем $1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = 1 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$. Значит $\cos^2 A = 1/9 \Rightarrow \cos A = 1/3$. $AC = AB \cdot \cos A = 21 \cdot (1/3) = 7$. **Ответ: 7** 6) $C = 2\pi R = 12 \Rightarrow R = 6/\pi$. Площадь $S = \pi R l = \pi \cdot (6/\pi) \cdot 15 = 90$. **Ответ: 90** 7) Диагональ основания $d = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = 20$. Высота пирамиды $H = \sqrt{R_{окр}^2 - (d/2)^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676-100} = \sqrt{576} = 24$. Площадь основания $S = 12 \cdot 16 = 192$. Объем $V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot 192 \cdot 24 = 192 \cdot 8 = 1536$. **Ответ: 1536** 8) $y' = 3x^2 - 75$. $3x^2 - 75 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$. При переходе через $x = -5$ производная меняет знак с $+$ на $-$, значит это максимум. **Ответ: -5** 9) $767^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 47^\circ$. Значит $\sin 767^\circ = \sin 47^\circ$. Выражение: $\frac{54 \sin 47^\circ}{\sin 47^\circ} = 54$. **Ответ: 54** 10) $S_1 = 6 \cdot 10^2 = 600$, $S_2 = 6 \cdot 5^2 = 150$. Разница: $600 - 150 = 450$. **Ответ: 450**