1. (4 балла) Вычислите: а) 36^(1/2) - 125^(1/3) - 8^(1/3) ; б) log6 18 - log6 3 ; в) (cube root 5) / (sixth root 625) ; г) 4 sin(pi/6) + 2 cos(2pi) .

Привет! Давай разберем твою экзаменационную работу. Пойдем по порядку. ### Часть 1 **1. Вычислите:** а) $36^{\frac{1}{2}} - 125^{\frac{1}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt{36} - \sqrt[3]{125} - \sqrt[3]{8} = 6 - 5 - 2 = -1$. б) $\log_6 18 - \log_6 3 = \log_6 \left( \frac{18}{3} \right) = \log_6 6 = 1$. в) $\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[6]{625}} = \frac{5^{1/3}}{(5^4)^{1/6}} = \frac{5^{1/3}}{5^{4/6}} = \frac{5^{1/3}}{5^{2/3}} = 5^{1/3 - 2/3} = 5^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$. г) $4 \sin \frac{\pi}{6} + 2 \cos 2\pi = 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4$. **2. Решите уравнение:** а) $\sqrt{2x - 6} = 4 \Rightarrow 2x - 6 = 16 \Rightarrow 2x = 22 \Rightarrow x = 11$. б) $\log_3 (2x - 1) = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 3^0 \Rightarrow 2x - 1 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. в) $0,3^{5-2x} = 0,09 \Rightarrow 0,3^{5-2x} = (0,3)^2 \Rightarrow 5 - 2x = 2 \Rightarrow -2x = -3 \Rightarrow x = 1,5$. **3. Решите неравенство:** а) $27^x \ge (\frac{1}{3})^{x+2} \Rightarrow (3^3)^x \ge (3^{-1})^{x+2} \Rightarrow 3^{3x} \ge 3^{-x-2} \Rightarrow 3x \ge -x-2 \Rightarrow 4x \ge -2 \Rightarrow x \ge -0,5$. б) $\log_5 (3x + 1) < 2 \Rightarrow 0 < 3x + 1 < 5^2 \Rightarrow 0 < 3x + 1 < 25$. Так как $3x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/3$. И $3x < 24 \Rightarrow x < 8$. Ответ: $x \in (-1/3; 8)$. **4. Скорость точки:** $x(t) = -\frac{1}{5}t^5 + t^4 - t^3 + 5t$. Скорость $v(t) = x'(t) = -t^4 + 4t^3 - 3t^2 + 5$. При $t=2$: $v(2) = -(2)^4 + 4(2)^3 - 3(2)^2 + 5 = -16 + 32 - 12 + 5 = 9$ м/с. **5. Найдите производную:** а) $f'(x) = (3x^2)' - (2x^3)' + (6)' = 6x - 6x^2$. б) $f'(x) = (x^5)' \cdot \cos x + x^5 \cdot (\cos x)' = 5x^4 \cos x - x^5 \sin x$. **6. Цилиндр:** $S_{бок} = 2 \pi R H = 21\pi$. Диаметр $D = 2R = 7 \Rightarrow R = 3,5$. $21\pi = 2 \pi \cdot 3,5 \cdot H \Rightarrow 21 = 7H \Rightarrow H = 3$. ### Часть 2 **7. Решите тригонометрическое уравнение:** $2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0$. Пусть $t = \sin x$, $|t| \le 1$. $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 8 = 1$. $t_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{4} \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = 0,5$. 1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. **8. Исследование функции $y = -x^3 + 6x^2 - 5$:** $y' = -3x^2 + 12x = -3x(x - 4)$. Критические точки: $x=0, x=4$. Точки экстремума: $x=0$ (минимум), $y(0) = -5$; $x=4$ (максимум), $y(4) = -64 + 96 - 5 = 27$. Функция возрастает на $(0; 4)$, убывает на $(-\infty; 0)$ и $(4; +\infty)$. **9. Объем призмы:** Площадь основания $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$. Гипотенуза $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см. Диагональ грани $d = 13$, катет $c = 5$. Высота призмы $H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$ см. $V = S_{осн} \cdot H = 6 \cdot 12 = 72$ см$^3$. **10. Система:** $5^{x+3y} = 5^{-1} \Rightarrow x+3y = -1$. $y+x = 3 \Rightarrow x = 3-y$. Подставим: $(3-y) + 3y = -1 \Rightarrow 2y = -4 \Rightarrow y = -2$. $x = 3 - (-2) = 5$. Ответ: $(5; -2)$.