Тренировочный билет, 10 задач по алгебре и геометрии.

Привет! Давай разберем твой тренировочный билет. Решаем последовательно: 1) $\log_{11} 77 - \log_{11} 7 = \log_{11} (77/7) = \log_{11} 11 = 1$. 2) $\frac{x+7}{2x-4} = \frac{x+7}{4x-2}$. Заметим, что числители равны. Значит, либо $x+7 = 0$ ($x=-7$), либо знаменатели равны: $2x-4 = 4x-2$. Если $2x-4 = 4x-2$, то $-2x = 2 \Rightarrow x=-1$. Проверка: при $x=-7$ уравнение $0/(-18) = 0/(-30) \Rightarrow 0=0$ (верно). При $x=-1$ уравнение $6/(-6) = 6/(-6) \Rightarrow -1=-1$ (верно). Больший корень: **-1**. 3) Скорость $v = 96 \text{ км/ч} = \frac{96 \times 1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{960}{36} = \frac{80}{3} \text{ м/с}$. Длина поезда $L = v \times t = \frac{80}{3} \times 42 = 80 \times 14 = 1120 \text{ метров}$. 4) $\vec{c} = \vec{a} + 3\vec{b}$. Координаты $\vec{a}(2;0)$, $\vec{b}(1;4)$. $\vec{c} = (2 + 3 \cdot 1; 0 + 3 \cdot 4) = (5; 12)$. Длина $|\vec{c}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. 5) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), $AB=21$, $\text{tg } A = 2\sqrt{2}$. $\text{tg } A = \frac{BC}{AC} = 2\sqrt{2} \Rightarrow BC = AC \cdot 2\sqrt{2}$. По теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. $AC^2 + (AC \cdot 2\sqrt{2})^2 = 21^2$. $AC^2 + AC^2 \cdot 8 = 441 \Rightarrow 9AC^2 = 441 \Rightarrow AC^2 = 49 \Rightarrow AC = 7$. 6) Длина окружности $C = 2\pi r = 12 \Rightarrow \pi r = 6$. Площадь боковой поверхности конуса $S = \pi r l$. $l = 15$. $S = 6 \cdot 15 = 90$. 7) Стороны основания $a=12$, $b=16$. Диагональ основания $d = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144+256} = 20$. Высота $H$ пирамиды (из вершины до центра основания): $H = \sqrt{l^2 - (d/2)^2}$, где $l=26$. $H = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$. Объем $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} (12 \cdot 16) \cdot 24 = 12 \cdot 16 \cdot 8 = 1536$. 8) $y = x^3 - 75x + 8$. Производная $y' = 3x^2 - 75$. $3x^2 - 75 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$. Исследуем знаки производной: при $x < -5$ ($y'>0$, функция возрастает), при $x > 5$ ($y'>0$). В окрестности $-5$: смена знака с "+" на "-", это точка максимума. Ответ: **-5**. 9) $\frac{54 \sin 47^\circ}{\sin 767^\circ} = \frac{54 \sin 47^\circ}{\sin(720^\circ + 47^\circ)} = \frac{54 \sin 47^\circ}{\sin 47^\circ} = 54$. 10) Площадь поверхности куба $S = 6a^2$. Для куба 10 см: $S_1 = 6 \cdot 100 = 600$. Для куба 5 см: $S_2 = 6 \cdot 25 = 150$. Разность: $600 - 150 = 450 \text{ см}^2$.