№ 4 sqrt(x^2 - 2x) = x + 1

Для уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями: 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$. 2. Результат извлечения корня (который по определению неотрицателен) должен быть равен правой части, значит $g(x) \ge 0$. Решим по порядку: 1. ОДЗ: $\begin{cases} x^2 - 2x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$ $x(x - 2) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$ $x \ge -1$ Пересечение интервалов: $x \in [-1; 0] \cup [2; +\infty)$. 2. Решение уравнения: Возведем обе части в квадрат: $x^2 - 2x = (x + 1)^2$ $x^2 - 2x = x^2 + 2x + 1$ $-2x = 2x + 1$ $-4x = 1$ $x = -0{,}25$ 3. Проверка: Число $-0{,}25$ не входит в найденную область допустимых значений $[-1; 0] \cup [2; +\infty)$, так как $-1 \le -0{,}25 \le 0$ - это верно, но проверим исходное уравнение: $\sqrt{(-0{,}25)^2 - 2(-0{,}25)} = \sqrt{0{,}0625 + 0{,}5} = \sqrt{0{,}5625} = 0{,}75$ Правая часть: $-0{,}25 + 1 = 0{,}75$ $0{,}75 = 0{,}75$, проверка пройдена. Ответ: $-0{,}25$.