Допущение: Во втором задании первого блока исправлена опечатка "0008" на "0.00032", так как корень пятой степени из 0.00032 - это табличное значение 0.2.

### Блок 1: Вычислить 1) $125^{1/3} \cdot 25^{-1/2} + (27^{1/3})^{-2} = 5 \cdot \frac{1}{5} + (3)^{-2} = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$ 2) $\sqrt[5]{0.00032} = 0.2$ (Примечание: в тексте "0008", если это 0.00032, то 0.2, если $\sqrt[5]{0.00032}$) 3) $\sqrt[3]{8} / \sqrt{2} = 2 / \sqrt{2} = \sqrt{2}$ 4) $\sqrt[4]{32} / \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{16} = 2$ 5) $\frac{4\sqrt{81}}{5\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot 9}{5\sqrt{3}} = \frac{36}{5\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{15} = \frac{12\sqrt{3}}{5} = 2.4\sqrt{3}$ 6) $\log_{2} 8 + \log_{5} \frac{1}{5} = 3 - 1 = 2$ 7) $5^{\log_{5} 15} = 15$ 8) $\log_{8} 4^5 = 5 \log_{8} 4 = 5 \log_{2^3} 2^2 = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ 9) $\log_{4} 49 - \log_{4} 7 = \log_{4} \frac{49}{7} = \log_{4} 7 = \frac{\log_{2} 7}{2} \approx 1.404$ 10) $\log_{6} 12 + \log_{6} 3 = \log_{6} 36 = 2$ 11) $2 \cdot \text{ctg} \frac{\pi}{4} + 2 \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$ 12) $\sin^2 135^{\circ} - \text{tg} 180^{\circ} + \cos 45^{\circ} - \sin 0^{\circ} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ ### Блок 2: Решить уравнение 1) $\sqrt{2x+7} = x+2$. ОДЗ: $x \ge -3.5, x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$. Возводим в квадрат: $2x+7 = x^2+4x+4 \Rightarrow x^2+2x-3=0$. Корни: $x_1=1, x_2=-3$. Проверка: $1$ подходит, $-3$ нет. **Ответ: 1.** 2) $\sqrt{4x-12} = 2$. $4x-12=4 \Rightarrow 4x=16 \Rightarrow x=4$. 3) $2^{x^2-5x+6.6} = \sqrt{16} = 4 = 2^2$. $x^2-5x+6.6=2 \Rightarrow x^2-5x+4.6=0$. Дискриминант: $D = 25 - 18.4 = 6.6$. $x = \frac{5 \pm \sqrt{6.6}}{2}$. 4) $3^{x-7} = 81 = 3^4$. $x-7=4 \Rightarrow x=11$. 5) $\log_{5}(3x+1) = 2 \Rightarrow 3x+1 = 25 \Rightarrow 3x=24 \Rightarrow x=8$. 6) $\log_{2}(x-4) = -1 \Rightarrow x-4 = 2^{-1} = 0.5 \Rightarrow x=4.5$. 7) $\sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216 \Rightarrow (2\cdot3)^{x/3} = 6^3 \Rightarrow 6^{x/3} = 6^3 \Rightarrow x/3=3 \Rightarrow x=9$. 8) $3^{2x} - 3^x = 72$. Пусть $3^x=t > 0$: $t^2-t-72=0 \Rightarrow (t-9)(t+8)=0$. $t=9 \Rightarrow 3^x=9 \Rightarrow x=2$. 9) $\sin 2x = \frac{1}{2}$. $2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$. 10) $3\cos^2 x - 5\cos x - 12 = 0$. Пусть $t = \cos x, t \in [-1, 1]$. $3t^2-5t-12=0$. $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$. $t = \frac{5 \pm 13}{6} \Rightarrow t_1 = 3$ (не подходит), $t_2 = -4/3$ (не подходит). Нет действительных корней. ### Блок 3: Вычислить производную $y = -4x^2 + 5x^{-2} - 9 + \sin 4x$ $y' = -8x - 10x^{-3} + 4\cos 4x = -8x - \frac{10}{x^3} + 4\cos 4x$ ### Блок 4: Найти точки минимума и максимума $y = -x^4 + 4x^2 - 5$. $y' = -4x^3 + 8x = -4x(x^2-2)$. Критические точки: $x=0, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}$. Знакопостоянство $y'$: $(-\infty, -\sqrt{2}) — (+)$ $(-\sqrt{2}, 0) — (-)$ $(0, \sqrt{2}) — (+)$ $(\sqrt{2}, \infty) — (-)$ Точки максимума: $x = \pm \sqrt{2}$. Точка минимума: $x = 0$.