Задание 4. Выполните операции над подстановками:

Давай разберем операции с подстановками. Подстановка записывается в две строки: верхняя — это элементы множества, нижняя — образы этих элементов при отображении. ### Пункт а) $\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}, \sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 5 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ **1) Канонический вид $\sigma_1$** (располагаем элементы 1-й строки по порядку): $\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix}$ **2) Обратная подстановка $\sigma_1^{-1}$** (меняем строки местами и сортируем по 1-й строке): $\sigma_1^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ **3) Произведение $\sigma_1 \circ \sigma_2$** (вычисляем действия последовательно справа налево): Для $x=1: \sigma_2(1)=4, \sigma_1(4)=5$. Для $x=2: \sigma_2(2)=1, \sigma_1(1)=3$. Для $x=3: \sigma_2(3)=5, \sigma_1(5)=1$. Для $x=4: \sigma_2(4)=3, \sigma_1(3)=4$. Для $x=5: \sigma_2(5)=2, \sigma_1(2)=2$. $\sigma_1 \circ \sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ **4) Квадрат подстановки $\sigma_1^2$** (вычисляем $\sigma_1 \circ \sigma_1$): Для $x=1: \sigma_1(1)=3, \sigma_1(3)=4$. Для $x=2: \sigma_1(2)=2, \sigma_1(2)=2$. Для $x=3: \sigma_1(3)=4, \sigma_1(4)=5$. Для $x=4: \sigma_1(4)=5, \sigma_1(5)=1$. Для $x=5: \sigma_1(5)=1, \sigma_1(1)=3$. $\sigma_1^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ --- ### Пункт б) $\sigma_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 2 \end{pmatrix}, \sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ **1) Канонический вид $\sigma_1$:** $\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ **2) Обратная подстановка $\sigma_1^{-1}$:** $\sigma_1^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ **3) Произведение $\sigma_1 \circ \sigma_2$:** Для $x=1: \sigma_2(1)=5, \sigma_1(5)=5$. Для $x=2: \sigma_2(2)=1, \sigma_1(1)=3$. Для $x=3: \sigma_2(3)=3, \sigma_1(3)=1$. Для $x=4: \sigma_2(4)=2, \sigma_1(2)=4$. Для $x=5: \sigma_2(5)=4, \sigma_1(4)=2$. $\sigma_1 \circ \sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ **4) Квадрат подстановки $\sigma_1^2$:** Для $x=1: \sigma_1(1)=3, \sigma_1(3)=1$. Для $x=2: \sigma_1(2)=4, \sigma_1(4)=2$. Для $x=3: \sigma_1(3)=1, \sigma_1(1)=3$. Для $x=4: \sigma_1(4)=2, \sigma_1(2)=4$. Для $x=5: \sigma_1(5)=5, \sigma_1(5)=5$. $\sigma_1^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ (это тождественная подстановка $e$)