1. Признак параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности двух плоскостей.

### Экзаменационный билет (первая часть) **1. Теория:** - **Признак параллельности прямой и плоскости:** Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. - **Признак параллельности двух плоскостей:** Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. **2. Решение задачи:** При вращении полуокружности вокруг её диаметра получается шар. - Диаметр $d = 8$ см, значит радиус $R = 4$ см. - Формула объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ $V = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256}{3} \pi \approx 268.08$ см$^3$. - Формула площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$ $S = 4 \pi \cdot 4^2 = 4 \pi \cdot 16 = 64\pi \approx 201.06$ см$^2$. **Ответ:** $V = \frac{256}{3}\pi$ см$^3$, $S = 64\pi$ см$^2$. --- ### Экзаменационный билет №9 **1. Производные основных элементарных функций:** Это табличные значения, например: - $(x^n)' = nx^{n-1}$ - $(C)' = 0$ - $(\sin x)' = \cos x$ - $(\cos x)' = -\sin x$ - $(e^x)' = e^x$ - $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ **2. Решение задачи:** Вычислим производную функции $y = x^5 - (3x^2 + x)$. $y' = (x^5)' - (3x^2 + x)'$ $y' = 5x^{5-1} - (3 \cdot 2x^{2-1} + 1)$ $y' = 5x^4 - (6x + 1)$ $y' = 5x^4 - 6x - 1$ **Ответ:** $y' = 5x^4 - 6x - 1$.