Вопрос:

Вычислите интегралы.

Фотография

Ответ ассистента

Для решения этих задач воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$. 1. $\int_1^3 (3x^2 - 2x + 8) dx = [x^3 - x^2 + 8x]_1^3 = (27 - 9 + 24) - (1 - 1 + 8) = 42 - 8 = 34$. 2. $\int_0^3 (x-2)^2 dx = [\frac{(x-2)^3}{3}]_0^3 = \frac{(3-2)^3}{3} - \frac{(0-2)^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{9}{3} = 3$. 3. $\int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos(x - \frac{\pi}{6}) dx = [\sin(x - \frac{\pi}{6})]_{\pi/3}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$. 4. $\int_0^2 5^x dx = [\frac{5^x}{\ln 5}]_0^2 = \frac{5^2}{\ln 5} - \frac{5^0}{\ln 5} = \frac{25-1}{\ln 5} = \frac{24}{\ln 5}$. 5. $\int_1^3 \frac{7}{x} dx = 7[\ln|x|]_1^3 = 7(\ln 3 - \ln 1) = 7\ln 3$. 6. $\int_0^{\pi} (2 - \sin \frac{x}{4}) dx = [2x + 4\cos \frac{x}{4}]_0^{\pi} = (2\pi + 4\cos \frac{\pi}{4}) - (2(0) + 4\cos 0) = 2\pi + 4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - 4 = 2\pi + 2\sqrt{2} - 4$.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи