Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sqrt(x^4 - 4x^2 + 9a^2) = x^2 + 2x - 3a имеет ровно три различных корня.

Для решения уравнения $\sqrt{x^4 - 4x^2 + 9a^2} = x^2 + 2x - 3a$ возведем обе части в квадрат, учитывая условие $x^2 + 2x - 3a \ge 0$: $x^4 - 4x^2 + 9a^2 = (x^2 + 2x - 3a)^2$ Раскроем скобки в правой части (используем формулу квадрата суммы трех слагаемых $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$): $x^4 - 4x^2 + 9a^2 = x^4 + 4x^2 + 9a^2 + 4x^3 - 6a x^2 - 12ax$ Перенесем все в одну сторону, сократив одинаковые слагаемые $x^4$ и $9a^2$: $4x^3 - 6ax^2 + 8x^2 - 12ax = 0$ $2x(2x^2 - 3ax + 4x - 6a) = 0$ Разложим на множители сгруппировав: $2x(2x(x - 1.5a) + 4(x - 1.5a)) = 0$ — не совсем удобно, лучше группировка: $2x(x(2x - 3a) + 2(2x - 3a)) = 0$ $2x(x + 2)(2x - 3a) = 0$ Корни уравнения: 1) $x_1 = 0$ 2) $x_2 = -2$ 3) $2x = 3a \Rightarrow x_3 = 1.5a$ Теперь проверим условие $x^2 + 2x - 3a \ge 0$ для каждого корня: 1) Для $x_1 = 0$: $0 + 0 - 3a \ge 0 \Rightarrow -3a \ge 0 \Rightarrow a \le 0$ 2) Для $x_2 = -2$: $4 - 4 - 3a \ge 0 \Rightarrow -3a \ge 0 \Rightarrow a \le 0$ 3) Для $x_3 = 1.5a$: $(1.5a)^2 + 2(1.5a) - 3a \ge 0 \Rightarrow 2.25a^2 + 3a - 3a \ge 0 \Rightarrow 2.25a^2 \ge 0$ — верно для любого $a$. Нам нужно ровно три различных корня. Если $a < 0$, то: - $x_1 = 0$ является корнем (условие $a \le 0$ выполняется). - $x_2 = -2$ является корнем (условие $a \le 0$ выполняется). - $x_3 = 1.5a$. Этот корень существует всегда. Он совпадет с $x_1=0$, если $1.5a = 0 \Rightarrow a = 0$. Но мы рассматриваем $a < 0$, значит $x_3 \neq 0$. Он совпадет с $x_2=-2$, если $1.5a = -2 \Rightarrow a = -4/3$. Следовательно, при $a < 0$ и $a \neq -4/3$ мы имеем ровно 3 различных корня. Если $a = 0$, то корни $0, -2, 0$. Различных корня всего два. Не подходит. Если $a = -4/3$, то корни $0, -2, -2$. Различных корня всего два. Не подходит. Ответ: $a \in (-\infty; -4/3) \cup (-4/3; 0)$.