Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями.

Для решения данных задач воспользуемся определенным интегралом, так как площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$. ### Задание 1 Линии: $y = 1 - x^3, y = 0$. Вероятно, подразумевались границы по $x$, например, от 0 до 1, так как указание $y=0$ дважды является опечаткой. Допущение: $x \in [0; 1]$. $S = \int_{0}^{1} (1 - x^3) dx = \left( x - \frac{x^4}{4} \right) \bigg|_0^1 = (1 - \frac{1}{4}) - 0 = \frac{3}{4} = 0,75$. ### Задание 2 Линии: $y = -x^2 - 4x, y = 0, x = -3, x = -1$. Функция $y = -x^2 - 4x$ на отрезке $[-3; -1]$ принимает положительные значения (ветви параболы вниз, корни 0 и -4). $S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) dx = \left( -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \right) \bigg|_{-3}^{-1} = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 \right) = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - \left( 9 - 18 \right) = -\frac{5}{3} - (-9) = 9 - 1,67 = 7,33 \approx 7\frac{1}{3}$. ### Задание 3 Линии: $y = -\frac{2}{x}, y = 0, x = -4, x = -1$. Функция $y = -\frac{2}{x}$ на отрезке $[-4; -1]$ принимает положительные значения. $S = \int_{-4}^{-1} (-\frac{2}{x}) dx = -2 \ln|x| \bigg|_{-4}^{-1} = -2(\ln|-1| - \ln|-4|) = -2(0 - \ln 4) = 2 \ln 4 = \ln 16 \approx 2,77$.