1. Признак параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности двух плоскостей. 2. Решение задачи. Вращая полуокружность с диаметром 8 см., получили тело вращения. Найти объём и площадь этого тела.

Привет! Давай разберем задачи из билетов. Выберу задачи по геометрии, производным и исследованию функций. ### Задача 1 (Тело вращения) При вращении полуокружности вокруг своего диаметра получается **сфера** (шар). Дано: диаметр $d = 8$ см, значит, радиус $R = d / 2 = 4$ см. 1. **Объем шара:** $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256}{3} \pi \approx 268.08$ см$^3$. 2. **Площадь сферы:** $S = 4 \pi R^2 = 4 \pi \cdot 4^2 = 4 \pi \cdot 16 = 64 \pi \approx 201.06$ см$^2$. Ответ: $V = \frac{256}{3}\pi$ см$^3$, $S = 64\pi$ см$^2$. --- ### Задача 2 (Производная) Функция: $y = x^5 \cdot (3x^2 + x)$. Сначала раскроем скобки: $y = 3x^7 + x^6$. Теперь найдем производную $y'$: $y' = (3x^7)' + (x^6)' = 3 \cdot 7x^6 + 6x^5 = 21x^6 + 6x^5$. Ответ: $y' = 21x^6 + 6x^5$. --- ### Задача 3 (Исследование функции) Функция: $y = -x^2 - 4x + 1$. Это парабола, ветви направлены вниз ($a = -1 < 0$). 1. **Вершина параболы:** $x_0 = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot -1) = 4 / -2 = -2$. $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$. Вершина: $(-2; 5)$. 2. **Точки пересечения:** - С осью $OY$ ($x=0$): $y = 1$. Точка $(0; 1)$. - С осью $OX$ ($y=0$): $-x^2 - 4x + 1 = 0$. $D = 16 - 4(-1)(1) = 20$. $x = (4 \pm \sqrt{20}) / -2 = -2 \pm \sqrt{5}$. Точки $\approx (0.24; 0)$ и $(-4.24; 0)$. :::div .chart-container @chart-1:::