Найдите значение выражения 5^{\sqrt{8-2\sqrt{7}}} : 5^{\sqrt{7}}.

Question

Вопрос:

Найдите значение выражения 5^{\sqrt{8-2\sqrt{7}}} : 5^{\sqrt{7}}.

$Найдите значение выражения 5^{\sqrt{8-2\sqrt{7}}} : 5^{\sqrt{7}}.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения этого примера вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями: $a^m : a^n = a^{m-n}$. 1. Наше выражение: $5^{\sqrt{8-2\sqrt{7}}} : 5^{\sqrt{7}} = 5^{\sqrt{8-2\sqrt{7}} - \sqrt{7}}$. 2. Упростим выражение под корнем в показателе степени: $\sqrt{8-2\sqrt{7}}$. Это выражение вида $\sqrt{a-2\sqrt{b}}$, которое можно свернуть по формуле квадрата разности: $\sqrt{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$. Нам нужно найти такие числа $x$ и $y$, чтобы их сумма была 8, а произведение — 7 (так как $2\sqrt{xy} = 2\sqrt{7}$). Это числа 7 и 1. Значит: $\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = \sqrt{7} - 1$. 3. Подставим полученное значение в степень: $5^{\sqrt{7}-1 - \sqrt{7}} = 5^{-1}$. 4. Вычислим итоговое значение: $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$. Ответ: 0,2.

Найдите значение выражения 5^{\sqrt{8-2\sqrt{7}}} : 5^{\sqrt{7}}.

Ответ ассистента

Другие решения