Тема: «Квадрат». 1) Сформулируй определение, свойства и признаки квадрата. 2) Реши задачи: а) Найди периметр квадрата ABCD. б) Один из углов ромба равен 90 градусов. Докажи, что этот ромб является квадратом.

### Тема: «Квадрат» **1) Сформулируй определение, свойства и признаки квадрата.** * **Определение:** Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб, у которого все углы прямые). * **Свойства:** * Все углы прямые ($90^{\circ}$). * Все стороны равны. * Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. * **Признаки:** * Если у прямоугольника две соседние стороны равны, то он является квадратом. * Если у ромба один из углов прямой, то он является квадратом. **2) Реши задачи:** **а) Найди периметр квадрата $ABCD$.** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наклонной длиной $6$, высотой квадрата $CD$ и частью стороны $AD$. Пусть точка на стороне $AD$ будет $M$. Тогда в $\triangle MCD$: $\angle D = 90^{\circ}$, $\angle CMD = 60^{\circ}$, $MC = 6$. 2. Найдём катет $CD$ (сторону квадрата) через синус: $CD = MC \cdot \sin(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. 3. Найдём отрезок $MD$ через косинус: $MD = MC \cdot \cos(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$. 4. Из рисунка видно, что точка $M$ делит сторону $AD$ пополам (отметки равенства на отрезках $AM$ и $MD$). Значит, сторона квадрата $AD = 2 \cdot MD = 2 \cdot 3 = 6$. *Примечание: Если судить по чертежу и расчётам, возникает противоречие (сторона $3\sqrt{3} \approx 5,2$ не равна стороне $6$). В школьных задачах с такими метками обычно подразумевается, что сторона вычисляется через геометрические соотношения. Используем сторону $a = 6$, так как метки равенства отрезков — ключевой визуальный элемент.* 5. Периметр $P = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24$. **Ответ: 24**. **б) Один из углов ромба равен $90^{\circ}$. Докажи, что этот ромб является квадратом.** 1. По определению ромба, все его стороны равны. 2. По свойствам параллелограмма (коим является ромб), противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. 3. Если один угол равен $90^{\circ}$, то противоположный ему тоже $90^{\circ}$. Углы, прилежащие к той же стороне: $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. 4. Следовательно, все углы ромба прямые. 5. Ромб, у которого все углы прямые, по определению является квадратом. Что и требовалось доказать.